Интегрирование по частям

Интегрирование по частям. Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu. Отсюда, интегрируя, получаем или . (1) Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи, и мы покажем на ряде примеров, как это делается. Пример 1. ? Положим u=x, dv=sinxdx;тогда du=dx, v= -cosx. Следовательно, . Замечание.

При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю. Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

Пример 2. Требуется вычислить. Положим u= arctg x, dv=dx;тогда. Следовательно, Пример 3. Требуется вычислить. Положим тогда. Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая Тогда. Окончательно будем иметь. Рациональные дроби.

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях.

Поэтому очень важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций. Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов: Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: ; здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь. Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей. Определение.

Правильные рациональные дроби вида (1). (2). (k-целое положительное число (3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ). (4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.

Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений: (1) (2) (3) = Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа: (4) Произведем преобразования: Первый интеграл берется подстановкой : Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде, полагая (по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом: . Преобразуем интеграл: Интегрируя по частям, будем иметь. Подставляя это выражение в равенство (1), получим = = . В правой части содержится интеграл того же типа, что, но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла: Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p, q. Интегрирование рациональных дробей Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби. Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи. 1.Случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т. е. F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d). В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа: и тогда 2. Случай. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные: В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов. Пример 1. 3. Случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные): В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов. Пример 2.Требуется вычислить интеграл. Разложим подынтегральную дробь на простейшие: Следовательно, . Полагая х=1, получим 1=2С, С= ½; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2. Приравнивая коэффициенты при, получим 0=А+С, откуда А= - ½. Таким образом , 4. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные кратные: В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби 4 типа. Пример 3. Требуется вычислить интеграл. Решение. Разлагаем дробь на простейшие: откуда Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1. Таким образом, получаем Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно: через логарифмы - в случаях простейших дробей 1 типа; через рациональные функции - в случае простейших дробей 2 типа через логарифмы и арктангенсы - в случае простейших дробей 3 типа через рациональные функции и арктангенсы - в случае простейших дробей 4 типа. Интегралы от иррациональных функций Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции.

Сейчас мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются. 1.Рассмотрим интеграл, где R-рациональная функция своих аргументов ). Пусть R-общий знаменатель дробей m/n,…r/s. Сделаем подстановку. Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t. Пример 1. Требуется вычислить интеграл. Решение.

Общий знаменатель дробей 1/2,3/4, есть 4; поэтому делаем подстановку ; тогда = . 2.Рассмотрим теперь интеграл вида Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки где - общий знаменатель дробей m/n,…r/s. Пример 2. Требуется вычислить интеграл. Решение.

Делаем подстановку тогда = 7.