НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ. Пусть функция F (x, y) непрерывна на открытом круге однако неограниченна на нём. При этом мы предполагаем, что при приближении к любым точкам окружности x2 + y2 = a2 функция F стремиться к бесконечности. Тогда для любого положительного b < a интеграл существует, но интеграл от F на Ga в обычном смысле не существует.

Из существования интеграла по Ga в римановском смысле должна следовать ограниченность F на Ga. Однако может случится, что существует предел Предел I называется интегралом от F по Ga в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл Площадь сферы &#1472;Sa&#1472;, соответствующей Ga нам пришлось определить при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция неограниченна вдоль линии. 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Рассмотрим несобственный интеграл (1) зависящий от параметра x = (x1,…,xm). Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке Точнее, мы рассматриваем область &#937; точек y = (y1,…,yn) n-мерного пространства, в которой происходит интегрирование и область G точек x = (x1,…,xm) – область параметров.

Так как мы интегрируем по &#937;, а в дальнейшем будем интегрировать и по G, то будем считать, что обе области &#937; и G и имеют кусочно-гладкую границу.

Что же касается функции f (x, y), то предполагается, что она непрерывна на за исключением точек (x, y0), где она имеет особенность. На &#937; в окрестности каждой точки (x, y0) функция f (x, y), вообще говоря, неограниченна. Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех Это значит, что для каждого существует конечный предел (2) где (3) и &#937;&#949; = &#937; U (y0, &#949;) есть множество точек y &#937;, из которого выкинут шар радиуса &#949; с центром в точке y0. Важно отметить, что интеграл (3) – это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция f (x, y) непрерывна на при любом &#949; > 0, то для него выполняются известные свойства: 1) F&#949; (x) непрерывная функция от 2) Законно менять местами порядок интегрирования (4) 3) Законно дифференцировать под знаком интеграла (5) при дополнительно условии, что частная производная непрерывна на. Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) – 3) при &#949; =0, т.е. сохраняются ли они для несобственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако если на сходимость к F (x) и к наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) – 3) сохраняются.

В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости несобственного интеграла.

По определению интеграл (1) сходящийся равномерно на (или по ), если т.е. равномерно на. Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на, если выполняется: для любого &#951; > 0 существует &#949;0 > 0 такое, что К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функции, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов.

Мы знаем, что если последовательность функций Fn (x) (n=1, 2,…), непрерывных на множестве, сходится равномерно на, то предельная функция F (x) непрерывна на, и тогда (6) Мы знаем также, что дополнительно считать, что частные производные существуют и непрерывны на и, кроме того, , равномерно на, то функция F (x) имеет производную, равную : При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что n, возрастая, пробегает натуральные числа.

Можно считать также, что n = &#949; стремиться непрерывно к нулю (&#949; &#8594; 0). Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы.

Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов. Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходиться на и функция f (x, y) непрерывна на за исключением точек (x, y0), то интеграл (1) есть непрерывная функция от x. При этом В самом деле, из непрерывности и равномерной сходимости на следует, что F(x) непрерывна на. Далее, В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой верной, потому что F&#949; и F непрерывны на G и F&#949; &#8594; F равномерно на, и (в четвёртом равенстве) формулой (4). Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная непрерывна на за исключением точек (x, y0), и интеграл равномерно сходится на, то имеет место равенство т.е. законно дифференцировать под знаком интеграла.

В самом деле, Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция и непрерывны на и обе при &#949; &#8594; 0 равномерно сходятся на соответственно F(x) и &#968;(x), то на. В четвёртом равенстве применено свойство (5), верное для любого &#949; > 0. 4.