Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами

Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел.

Пара чисел является упорядоченной, если указано, какое число из пары является первым и какое - вторым.

Элемент рассматриваемого множества будем обозначать так, на первом месте будем записывать первое число, на втором - второе число пары. Элементы и считаются различными, если. Элементами нашего множества будут, например, пары. Элементы и считаются равными тогда и только тогда, когда и. Введем теперь в множестве всех упорядоченных пар действительных чисел алгебраические операции сложение и умножение двух пар. Суммой элементов и назовем элемент. Произведением пар и назовем пару. Введенные операции определяются равенствами 1 2 Например, сумма и произведение пар и вычисляются так Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых формулами 1 и 2 определены операции сложения и умножения.

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами 1 переместительный закон для сложения 2 сочетательный закон для сложения 3 для любых комплексных чисел и существует комплексное число такое, что. Это число называется разностью чисел и и обозначается . 4 переместительный закон для умножения . 5 сочетательный закон для умножения . 6 для любых комплексных чисел и существует число такое, что. Это число называется частным комплексных чисел и и обозначается. Деление на комплексное число 0 0 невозможно. 7 распределительный закон 9 . Каждое комплексное число можно представить следующим образом. Учитывая, что получаем. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Сформулируем некоторые правила и свойства комплексных чисел 1. Существует элемент мнимая единица такой, что . 2. Символ называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части.

Комплексное число отождествляется с действительным числом a, т.е в частности Числа вида называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число имеет действительную часть - действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части. Комплексное число имеет действительную часть число 2, мнимую часть, число - коэффициент при мнимой части. 3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей. Т.е если, то и, обратно, если, то . 4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел Например. Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле. Например . 5. Правило умножения комплексных чисел Из правил 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 - 1. Действительно. Например, Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное.

В частности, при умножении двух комплексных чисел и, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части.

Действительно. Произведение двух чисто мнимых чисел - действительное число. Например, и вообще . 6. Деление комплексного числа на комплексное число определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле. Формула теряет смысл, если, так как тогда c2 d2 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например, Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам.

Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число при отождествляется с действительным числом, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества. Приведем классификацию комплексных чисел рисунок 1 Рисунок 1. Классификация комплексных чисел 2.2