Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел.
Пара чисел является упорядоченной, если указано, какое число из пары является первым и какое - вторым.
Элемент рассматриваемого множества будем обозначать так, на первом месте будем записывать первое число, на втором - второе число пары. Элементы и считаются различными, если. Элементами нашего множества будут, например, пары. Элементы и считаются равными тогда и только тогда, когда и. Введем теперь в множестве всех упорядоченных пар действительных чисел алгебраические операции сложение и умножение двух пар. Суммой элементов и назовем элемент. Произведением пар и назовем пару. Введенные операции определяются равенствами 1 2 Например, сумма и произведение пар и вычисляются так Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых формулами 1 и 2 определены операции сложения и умножения.
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами 1 переместительный закон для сложения 2 сочетательный закон для сложения 3 для любых комплексных чисел и существует комплексное число такое, что. Это число называется разностью чисел и и обозначается . 4 переместительный закон для умножения . 5 сочетательный закон для умножения . 6 для любых комплексных чисел и существует число такое, что. Это число называется частным комплексных чисел и и обозначается. Деление на комплексное число 0 0 невозможно. 7 распределительный закон 9 . Каждое комплексное число можно представить следующим образом. Учитывая, что получаем. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Сформулируем некоторые правила и свойства комплексных чисел 1. Существует элемент мнимая единица такой, что . 2. Символ называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части.
Комплексное число отождествляется с действительным числом a, т.е в частности Числа вида называют чисто мнимыми.
Например, комплексное число имеет действительную часть - действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части. Комплексное число имеет действительную часть число 2, мнимую часть, число - коэффициент при мнимой части. 3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей. Т.е если, то и, обратно, если, то . 4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел Например. Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле. Например . 5. Правило умножения комплексных чисел Из правил 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 - 1. Действительно. Например, Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное.
В частности, при умножении двух комплексных чисел и, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части.
Действительно. Произведение двух чисто мнимых чисел - действительное число. Например, и вообще . 6. Деление комплексного числа на комплексное число определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле. Формула теряет смысл, если, так как тогда c2 d2 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.
Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например, Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам.
Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число при отождествляется с действительным числом, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества. Приведем классификацию комплексных чисел рисунок 1 Рисунок 1. Классификация комплексных чисел 2.2