Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений. Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения или. Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение.

Так, уравнение имеет два решения Это нетрудно установить проверкой , Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида, где x - неизвестная, a, b, c - действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

Разделим все члены уравнения на и перенесем свободный член в правую часть уравнения. К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых. Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения Найдем значения неизвестной Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения.

Если, то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни. Если же, то - мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни. Результаты исследования представлены ниже в таблице 1 Таблица 1 Нахождение корней уравнения в зависимости от дискриминанта Значение дискриминанта Корни уравнения Уравнение имеет два различных действительных корня Уравнение имеет два равных действительных корня Уравнение имеет два различных мнимых корня корни - сопряженные комплексные числа Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений.

В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение 11 . Примеры. 1. Решите уравнение Решение уравнение имеет мнимые корни 2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т.п Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел.

Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же равноправными и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу ставится в соответствие точка координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части - ординату точки. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой 10 . На рисунке 1 изображена координатная плоскость.

Числу соответствует точка плоскости числу - точка числу - точка числу - точка. Числу соответствует точка а числу - точка. Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости.

Ясно, что действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам, где - точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox - действительной. Сопряженным комплексным числам и соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс рисунок 3 . Каждой точке плоскости с координатами a b соответствует один и только один вектор с началом O 0 0 и концом Z a b. Поэтому комплексное число z a bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O 0 0 и концом в точке Z a b . 2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа Точка координатной плоскости, соответствующая комплексному числу, может быть указана по-другому ее координатами могут быть расстояние r от начала координат и величина угла между положительной полуосью Ox и лучом Oz рисунок 4 . Расстояние r от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу z, называют модулем этого числа.

Тогда по теореме Пифагора рисунок 4 имеем Отсюда найдем модуль комплексного числа как арифметическое неотрицательное значение корня Если комплексное число z изображается точкой оси абсцисс т.е. является действительным числом, то его модуль совпадает с абсолютным значением.

Все комплексные числа, имеющие модуль 1, изображаются точками единичной окружности - окружности с центром в начале системы координат, радиуса 1 рисунок 5 . Угол между положительной полуосью Ox и лучом Oz называют аргументом комплексного числа рисунок 4 . Сопряженные комплексные числа и имеют один и тот же модуль и аргументы, отличающиеся знаком. В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Аргумент одного и того же комплексного числа может иметь бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 360 . Например, число z рис. 3 имеет модуль r, аргумент же этого числа может принимать значения или значения Данное значение модуля r и любое из приведенных выше значений аргумента определяют одну и ту же точку плоскости, соответствующую числу z. Аргументы комплексного числа можно найти иначе каждый из аргументов удовлетворяет неравенству. Важное геометрическое истолкование модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Пример. Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями а б в ? а условию удовлетворяют те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки на расстояние, равное единице. Такие точки лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке рисунок 6 . б используя геометрическую интерпретацию модуля разности двух комплексных чисел, задачу можно переформулировать так какого множество точек комплексной плоскости, которые расположены ближе к точке. Чем к точке ? Ясно, что таким свойством обладают все точки плоскости, лежащие левее мнимой оси и только они на рисунке 7 это множество заштриховано . в комплексные числа, удовлетворяющие неравенствам удалены от точки на расстояние большее или равное двум, но не меньше трех. Такие точки расположены внутри и на внутренней границе кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с центром в точке и с радиусами и рисунок 8 . Пусть точке с координатами соответствует комплексное число. Запишем это комплексное число через его модуль и аргумент.

Воспользуемся определением тригонометрических функций синуса и косинуса рисунок 3 . Тогда число z выражается через модуль и аргумент следующим образом. Выражение называют тригонометрической формой комплексного числа, в отличии от выражения, называемого алгебраической формой комплексного числа.

Приведем примеры обращения комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую 4 . Учащимся нужно представить числа и через радиус и аргумент, для этого нужно вспомнить формулы перехода от одной формы записи комплексного числа к другой.

Для числа имеем, поэтому Для числа - 1 имеем, поэтому - 1 Для числа имеем поэтому Для числа рисунок 5 имеем поэтому Для числа имеем поэтому Для числа в тригонометрической форме нет необходимости предварительно находить модуль и аргумент.

Воспользуемся тем, что, а и сразу получим тригонометрическую форму Справедливость приведенных равенств нетрудно проверить путем подстановки в их правой части числовых значений тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме, обратить в тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль и аргумент, пользуясь формулами Тригонометрическая форма записи комплексных чисел оказывается очень удобной при умножении и делении чисел.

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда Пусть и два числа. Записанных в тригонометрической форме. Представим в тригонометрической форме их произведение или. Следовательно Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения. Пример. Найти произведение чисел и. Так как то. Аргументом произведения данных чисел сумма. Следовательно или. Введем действие деления комплексных чисел.

Запишем частное двух комплексных чисел и в тригонометрической форме. Умножая числитель и знаменатель частного на, получим Или, используя формулы тригонометрии, получим. Следовательно Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного 20 . Пример.

Записать число в тригонометрической форме Введем обозначения Число записано в тригонометрической форме. Очевидно, что и. Найдем модуль и аргумент числа По формуле получим, т.е 2.5