Возведение в степень и извлечение корня. Формула для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей.
Используя метод математической индукции получим модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов всех сомножителей является аргументом их произведения.
Отсюда, как частный случай, получается формула 1 Дающая правило возведения комплексного числа в целую положительную степень. При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример 1. записать число в алгебраической форме. Сначала запишем данное число в тригонометрической форме, а затем перейдем от тригонометрической к алгебраической. Найдем модуль и один из аргументов числа Представим число в тригонометрической форме. Теперь применяя формулу 1 получаем, получаем. Запишем это число в алгебраической форме. Перейдем к извлечению корня данной степени из комплексного числа.
Число называется корнем степени n из числа w обозначается, если. Например, числа и являются квадратными корнями из числа, так как и. Из определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение. Если, то при любом n уравнение имеет одно и только одно решение. Если, то и, а следовательно, и z и w можно представить в тригонометрической форме Уравнение примет вид. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на, где k - некоторое целое число.
Следовательно, и или и Итак, все решения уравнения могут быть записаны следующим образом Легко видеть, что все числа, получаемые при, различны. Если брать значения, то других комплексных чисел, отличных от, не получится. Таким образом, если, то существует ровно корней степени из числа все они получаются из формулы , 2 Пример 2. Найти все значения. Запишем число в тригонометрической форме, применяя формулу 2 , получаем Следовательно, Точки, соответствующие числам, расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке . 2.7