рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения - Курсовая Работа, раздел Математика, ФОРМИРОВАНИЕ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА» В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ Алгебраические Уравнения. Ранее Было Установлено, Что Уравнение Вида Xn - 1 0...

Алгебраические уравнения. Ранее было установлено, что уравнение вида xn - 1 0 имеет решения, более того, таких решений ровно столько, какова степень этого уравнения.

В связи с этим можно поставить вопросы всякое ли алгебраическое уравнение имеет решение в поле комплексных чисел? В 1799 г. тогда еще молодому немецкому математику Гауссу удалось доказать важную теорему о том, что решения алгебраических уравнений 5-й и более высоких степеней существуют.

В теореме Гаусса утверждается, что всякое алгебраическое уравнение с действительными и даже комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами, т.е. уравнение вида 1 Число называется решением или корнем уравнения, если при подстановке вместо z в уравнение получается верное числовое равенство.

Следовательно, если - корень уравнения 1 , то. Например, следующие уравнения - являются алгебраическими уравнениями соответственно первой, второй, пятой и седьмой степеней. Корнем первого уравнения является число, второе уравнение имеет два корня и. Число - корень третьего уравнения, так как. Очевидно, что - корень четвертого уравнения.

Помимо корня четвертое уравнение имеет еще шесть корней. Решить уравнение в множестве комплексных чисел - значит найти все корни уравнения. Общий вид алгебраического уравнения первой степени Очевидно, что такое уравнение имеет одно и только одно решение. Уравнение второй степени в общем виде записывается так, и имеет корни и . 2 Формула для корней квадратного уравнения имеет тот же вид, как и в случае, когда коэффициенты уравнения действительные числа и решения отыскиваются в множестве действительных чисел. Но поскольку в множестве комплексных чисел операция извлечения квадратного корня имеет смысл для любого комплексного числа, ограничение становится излишним.

Более того, оно вообще теряет смысл, так как дискриминант может оказаться числом не действительным, а для таких чисел понятия больше, меньше не определены. Таким образом, в множестве комплексных чисел уравнение - комплексные числа, всегда разрешимо. Перейдем к рассмотрению алгебраических уравнений более высокой степени.

Решение уравнения 1 при является задачей неизмеримо более сложной. Теорема каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень. Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Она носит имя Гаусса. Доказательство ее достаточно сложно и в курсе элементарной математики не приводится. Опираясь на теорему Гаусса можно доказать, что левая часть уравнения 1 всегда допускает представление в виде произведения, где - некоторые различные комплексные числа, а - натуральные числа, причем. Отсюда следует, что числа и не только они являются корнями уравнения 1 . При этом говорят, что является корнем краткости корнем краткости и тд. Если условиться корень уравнения считать столько раз, какова его краткость, то можно сформулировать теорему Каждое алгебраическое уравнение степени имеет в множестве комплексных чисел ровно корней.

И теорема Гаусса, и только что сформулированная теорема являются типичными теоремами существования.

Они дают исчерпывающее решение вопроса о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения, но к сожалению, ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корень уравнения первой степени определяется формулой, если корни уравнения второй степени всегда могут быть легко найдены по формуле 2 , то уже для уравнений третьей и четвертой степени аналогичные формулы настолько громоздки, что ими предпочитают не пользоваться, а для уравнений степени выше четвертой подобных формул в общем случае вообще не существует.

Отсутствие общего метода решения алгебраических уравнений не мешает, конечно, в частных случаях, в зависимости от специфики уравнения, отыскать все его корни. Например, формула 2 позволяет найти все корни уравнения, т.е. двучленного уравнения степени n. Для решения уравнений с целыми коэффициентами часто оказывается полезна следующая теорема Целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Доказательство этой теоремы провести легко. Пусть - целый корень уравнения с целыми коэффициентами. Тогда и, следовательно. Число при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k - делитель числа. Пример решить уравнение Рассматривая делители свободного члена, убеждаемся в том, что только является целым корнем уравнения. Делим левую часть уравнения на, придем к уравнению. Решая это уравнение получим остальные корни 3

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФОРМИРОВАНИЕ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА» В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ

Помимо активной умственной работы, посредством уроков математики можно развивать некоторые психические функции, мало используемые на других… Среди таких функций, например, систематичность и последовательность мышления,… В свете модернизации образования ключевым становится вопрос об изменении позиции современного учителя отказ от функций…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Алгебраические уравнения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Проблемы формирования ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности
Проблемы формирования ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности. В настоящее время в качестве одной из важнейших задач общего образования рассматривается достижение такого уровня обра

Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами
Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел. Пара чисел является упорядоч

Решение квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений. Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения или. Покажем, что расширив по

Комплексные числа и векторы
Комплексные числа и векторы. Существует и другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел. Каждой точке координатной плоскости, изображающей комплексное число, соответствует единственн

Возведение в степень и извлечение корня
Возведение в степень и извлечение корня. Формула для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции получим модуль пр

Формирование поисковой деятельности у учащихся при решении задач
Формирование поисковой деятельности у учащихся при решении задач. Математические упражнения, решаемые с использованием теории комплексных чисел 1 Представьте комплексное число в алгебраической форм

Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения. Найти, если а, б . 2 Записать в алгебраической форме а б в г . 3 Найти комплексное число, удовлетворяющее уравнению, и записать его в алгебраической и тригономе

Описание эксперимента
Описание эксперимента. Методические основы и организация экспериментального исследованияФормирование и развитие математического мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги