Алгебраические уравнения. Ранее было установлено, что уравнение вида xn - 1 0 имеет решения, более того, таких решений ровно столько, какова степень этого уравнения.
В связи с этим можно поставить вопросы всякое ли алгебраическое уравнение имеет решение в поле комплексных чисел? В 1799 г. тогда еще молодому немецкому математику Гауссу удалось доказать важную теорему о том, что решения алгебраических уравнений 5-й и более высоких степеней существуют.
В теореме Гаусса утверждается, что всякое алгебраическое уравнение с действительными и даже комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами, т.е. уравнение вида 1 Число называется решением или корнем уравнения, если при подстановке вместо z в уравнение получается верное числовое равенство.
Следовательно, если - корень уравнения 1 , то. Например, следующие уравнения - являются алгебраическими уравнениями соответственно первой, второй, пятой и седьмой степеней. Корнем первого уравнения является число, второе уравнение имеет два корня и. Число - корень третьего уравнения, так как. Очевидно, что - корень четвертого уравнения.
Помимо корня четвертое уравнение имеет еще шесть корней. Решить уравнение в множестве комплексных чисел - значит найти все корни уравнения. Общий вид алгебраического уравнения первой степени Очевидно, что такое уравнение имеет одно и только одно решение. Уравнение второй степени в общем виде записывается так, и имеет корни и . 2 Формула для корней квадратного уравнения имеет тот же вид, как и в случае, когда коэффициенты уравнения действительные числа и решения отыскиваются в множестве действительных чисел. Но поскольку в множестве комплексных чисел операция извлечения квадратного корня имеет смысл для любого комплексного числа, ограничение становится излишним.
Более того, оно вообще теряет смысл, так как дискриминант может оказаться числом не действительным, а для таких чисел понятия больше, меньше не определены. Таким образом, в множестве комплексных чисел уравнение - комплексные числа, всегда разрешимо. Перейдем к рассмотрению алгебраических уравнений более высокой степени.
Решение уравнения 1 при является задачей неизмеримо более сложной. Теорема каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень. Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Она носит имя Гаусса. Доказательство ее достаточно сложно и в курсе элементарной математики не приводится. Опираясь на теорему Гаусса можно доказать, что левая часть уравнения 1 всегда допускает представление в виде произведения, где - некоторые различные комплексные числа, а - натуральные числа, причем. Отсюда следует, что числа и не только они являются корнями уравнения 1 . При этом говорят, что является корнем краткости корнем краткости и тд. Если условиться корень уравнения считать столько раз, какова его краткость, то можно сформулировать теорему Каждое алгебраическое уравнение степени имеет в множестве комплексных чисел ровно корней.
И теорема Гаусса, и только что сформулированная теорема являются типичными теоремами существования.
Они дают исчерпывающее решение вопроса о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения, но к сожалению, ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корень уравнения первой степени определяется формулой, если корни уравнения второй степени всегда могут быть легко найдены по формуле 2 , то уже для уравнений третьей и четвертой степени аналогичные формулы настолько громоздки, что ими предпочитают не пользоваться, а для уравнений степени выше четвертой подобных формул в общем случае вообще не существует.
Отсутствие общего метода решения алгебраических уравнений не мешает, конечно, в частных случаях, в зависимости от специфики уравнения, отыскать все его корни. Например, формула 2 позволяет найти все корни уравнения, т.е. двучленного уравнения степени n. Для решения уравнений с целыми коэффициентами часто оказывается полезна следующая теорема Целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.
Доказательство этой теоремы провести легко. Пусть - целый корень уравнения с целыми коэффициентами. Тогда и, следовательно. Число при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k - делитель числа. Пример решить уравнение Рассматривая делители свободного члена, убеждаемся в том, что только является целым корнем уравнения. Делим левую часть уравнения на, придем к уравнению. Решая это уравнение получим остальные корни 3