Формирование поисковой деятельности у учащихся при решении задач. Математические упражнения, решаемые с использованием теории комплексных чисел 1 Представьте комплексное число в алгебраической форме.
Нужно найти числа и, чтобы прийти к виду. Откроем скобки, сгруппируем подобные и придем к нужному виду. 2 Найдите модули и аргументы комплексных чисел а Найдем модуль и аргумент числа, вписав ответы в таблицу 2. Для этого учащимся желательно числитель и знаменатель представить как комплексные числа и. Учащиеся вспоминают формулы нахождения модуля и аргумента комплексных чисел заданных в алгебраической форме.
Таблица 2 Значение модуля и аргумента задания 2 Число Его модуль Один из его аргументов Модуль равен 8, аргументы б Учащиеся вспоминают по какой формуле находится радиус комплексного числа, какому соотношению должны удовлетворять аргументы данного числа Аргументы данного комплексного числа обязаны удовлетворять уравнению или, откуда. Данное комплексное число расположено во 2-м квадранте, так как, а. Поэтому аргументами будут только те решения, которые лежат во второй четверти, т.е Ответ 3 Представить в алгебраической и в тригонометрической формах а б. Учащимся нужно представить число в виде и. Для этого нужно знать как находятся радиус и аргумент комплексного числа, как переходить от одной формы в другую, как возводить комплексное число в степень. а Найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа.
Запишем в тригонометрической форме число. Так как, а один из аргументов, то. Следовательно или. Теперь легко записать данное число в алгебраической форме. Ответ . б данное число уже записано в алгебраической форме.
Для того чтобы записать его в тригонометрической форме, найдем сначала модуль данного числа Для определения аргумента решим уравнение. Преобразуя правую часть, получим, откуда. Так как, а , число расположено в четвертом квадранте комплексной плоскости и одним из его аргументов является. Ответ , 4 Представить число в тригонометрической форме.
Нужно представить число в виде. Учащиеся пользуются формулами нахождения радиуса и аргумента комплексного числа, возведение его в степень, вспоминают формулы тригонометрии. Находим модуль комплексного числа. Аргументы числа удовлетворяют уравнению. Решая это уравнение, получим Число расположено в четвертом квадранте комплексной плоскости, поэтому. Теперь можем записать число вы тригонометрической форме. Применяя формулу, имеем окончательно. Ответ . 5 Решить уравнение. Решить уравнение - значит найти его корни, т.е Запишем в алгебраической форме. Тогда уравнение можно переписать так или. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю и действительная и мнимая части его, поэтому и. Полученная система имеет бесчисленное множество решений, где - произвольное действительное число.
Отсюда следует, что множество решений исходного уравнения - бесконечное множество. Оно состоит из всех комплексных чисел, соответствующих точкам комплексной плоскости, лежащим на мнимой оси. Ответ - произвольное действительное число . 6 Какое множество точек задается условием а б в ? а условию удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые одинаково удалены от точек и. Множеством точек, равноудаленных от точек и, является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
На рисунке 13 изображена прямая, дающая искомое множество. б положим, тогда заданное условие примет следующий вид Это уравнение окружности с центром в точке, радиус которой равен 3 рисунок 14. в Данное неравенство равносильно неравенствам искомое множество точек представляет собой бесконечную систему концентрических колец с центром в точке. Сама точка не принадлежит множеству. 7 На комплексной плоскости даны точки. Найти комплексные числа, соответствующие точкам, принадлежащим биссектрисе угла, образованного векторами и. Чтобы получить какой-нибудь вектор, идущий по биссектрисе, достаточно сложить два любых вектора одинаковой длины, имеющих направление векторов и рисунок 15 . Так как длина вектора вдвое больше длины вектора, то векторы и будут иметь одну и ту же длину, поэтому вектор, равный их сумме, лежит на биссектрисе угла, образованного векторами и. Вся совокупность векторов, удовлетворяющих поставленному условию, дается, очевидно, формулой, где - произвольное положительное число.
Ответ, где - произвольное положительное число. 8 Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию, найти число, имеющее наименьший положительный аргумент.
Комплексные числа, удовлетворяющие условию, расположены на окружности радиуса с центром в точке рисунок 16. Чтобы найти точку окружности с наименьшим положительным аргументом, проведем касательную к окружности.
Точка касания P, очевидно, будет обладать нужным свойством. Из прямоугольного треугольника угол найдем Ответ наименьший положительный аргумент имеет число 9 Решить уравнение. Задача сводится к нахождению всех значений. Запишем число в тригонометрической форме Применяя формулу для отыскания всех значений, получим Следовательно, Ответ . 10 Записать в алгебраической форме, при условии, что действительная часть комплексных чисел, отрицательна.
Положим, тогда и, следовательно, и удовлетворяют системе. Решая систему, получим два решения и. По условию действительная часть отрицательна. Таким образом Аналогично найдем. Теперь получаем. Ответ . 11 Доказать, что остаток от деления многочлена на равен теорема Безу. При делении многочлена степени на многочлен первой степени в частном получится многочлен степени и в остатке многочлен нулевой степени.
Обозначив частное от деления на через и остаток, можем записать тождество. Подставив в это тождество, получим, т.е 3.2