Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения. Найти, если а, б . 2 Записать в алгебраической форме а б в г . 3 Найти комплексное число, удовлетворяющее уравнению, и записать его в алгебраической и тригонометрической формах. 4 Решить систему уравнений . 5 При каких действительных значениях и комплексные числа и являются сопряженными? 6 Доказать равенства. 7 Решить уравнения а, б , в, г , д . 8 Решить систему уравнений . 9 Доказать, что система уравнений решений не имеет. 10 На комплексной плоскости даны точки, являющиеся вершинами треугольника.

Найти точку пересечения его медиан. 11 Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющие условию а, б , в, г , д, е , ж 12 Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию найти число, имеющее наименьший положительный аргумент. 13 Записать в тригонометрической форме а, б , в, г , д 14 Представить в алгебраической форме а, б , в, г . 15 Найти все значения, если а, б в, г . 16 Решить уравнения а, б , в, г , д, е 17 Убедиться в том, что число является корнем уравнения, и найти остальные корни. 3.3 Программа элективного курса по теме Комплексные числа Тема Комплексные числа развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Изучение этой темы преследует следующие основные цели 1. повышение математической культуры учащихся 2. углубление представлений о понятии числа 3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

После изучения темы Комплексные числа ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую. Тему Комплексные числа благоприятнее всего вводить в 10 классе в I-ом полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии 27, 28 . Исходя из объема, трудности материала а также из основных принципов дидактики, психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем рассмотреть следующие вопросы таблица 3 Таблица 3 Тематическое планирование Тема занятия Количество часов 1 2 3 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными алгебраически.

Комплексная плоскость.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач 2 ч 2 Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. 2ч 3 Формула Муавра.

Извлечение корней из комплексных чисел. Решение упражнений. Комплексные корни многочлена 2 ч 4 Зачет или дифференцированная проверочная работа 2 ч Итого 8ч Программа элективного курса по теме Комплексные числа Занятие 1 Тема Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными алгебраически. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Решение задач. Цель повторить имевшиеся знания по теории комплексных чисел. Задачи Обучающая расширить понятие числа ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Научить выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Развивающая развивать у учащихся способность к конкретному и обобщенному мышлению, умение логично и последовательно излагать свою мысль. Воспитательная прививать интерес к математике.

Основные знания и умения. Знать определения комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа формулировки основных соотношений алгебраическую форму комплексного числа определение сопряженных и противоположных чисел действия над комплексными числами сложение, умножение, вычитание, деление, геометрическую интерпретацию комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. Уметь выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность, выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность с помощью векторов 30 . Методические рекомендации.

Вид занятий. Урок-повторение. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала. Тема Комплексные числа - одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации, её содержание углубляется в общетехнических предметах, например в теоретических основах электротехники, основах радиотехники и др. План занятий.

Повторение опорных знаний учащихся. 1. Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах. 2. Как получаем множество комплексных чисел? 3. Какими свойствами обладает множество комплексных чисел? 4. Какие комплексные числа называются равными, сопряженными? 5. Какова алгебраическая форма записи комплексного числа? Назовите действительную и мнимую части Применение знаний при решении типовых примеров и задач. 1. Вспомним формулы сложения и вычитания 2-ч комплексных чисел Даны и. Найти Даны и. Найти 2. Умножение, причем нужно помнить, что. Даны и. Найти 3. Деление на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю Даны и. Найти 4. Найти частное комплексных чисел а б. Решение.

Формулу для нахождения частного комплексных чисел z1 и z2 запишем в виде. Пользуясь этой формулой, находим а б 5. Найдите действительную часть комплексного числа Ответ Мнимую 6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. 1. Какая плоскость называется комплексной? 2. Какая ось называется действительной, а какая - мнимой? 3. Изобразите геометрически комплексные числа а б 7. Модуль комплексного числа. Вспомним определение модуля комплексного числа.

Определение Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу. Если, то. Найти модуль комплексных чисел а б в . 8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием а б в ? а условию удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые одинаково удалены от точек и. Множеством точек, равноудаленных от точек и, является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

На рисунке 12 изображена прямая, дающая искомое множество. б положим, тогда заданное условие примет следующий вид Это уравнение окружности с центром в точке, радиус которой равен 3 рисунок 13. в Данное неравенство равносильно неравенствам искомое множество точек представляет собой бесконечную систему концентрических колец с центром в точке. Сама точка не принадлежит множеству. 9. Найдите два действительных числа и, удовлетворяющих неравенствам а б . а б Ответ и . 10. Решите уравнение а Ответ . 11. Точка А соответствует комплексному числу. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно а оси б оси в начала координат? Подведение итогов занятия.

Домашнее задание. 1. Установте, при каких действительных значениях и являются противоположными следующие комплексные числа и. Решение.

Приведем числа z1 и z2 к алгебраической форме записи Согласно условию задачи, получаем систему 1 Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго - на 2 и сложим получившиеся при этом результаты - однородное уравнение.

Разделим обе его части на y2, получим - квадратное уравнение относительно. Решив его, получим и, т. е. или. Подставим эти значения, например, в первое уравнение из 1 , получим. Тогда. Аналогично, при получаем - это уравнение действительных решений не имеет. Ответ . 2. Представьте комплексное число в алгебраической форме. Нужно найти числа и, чтобы прийти к виду. Откроем скобки, сгруппируем подобные и придем к нужному виду. Занятие 2 Тема Тригонометрическая форма комплексного числа.

Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Цель повторить имевшиеся знания о тригонометрической форме комплексного числа и закрепить новые. Обучающая дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Развивающая развивать у учащихся способность к конкретному и обобщенному мышлению, способность опираться на разные связи по сходству, аналогии умение логично и последовательно излагать свою мысль. Воспитательная воспитать у учащихся упорство в достижении цели, желания добиваться больших результатов в обучении. Основные знания и умения. Знать определения аргумента комплексного числа тригонометрической формы комплексного числа. Уметь переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Методические рекомендации. Вид занятия. Формирование умений и навыков. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Опираясь на знания и первичные умения, полученные на предыдущих занятиях, обратить внимание учащихся на характер упражнений, на постепенное усложнение заданий, на связь с пройденными ранее темами 30 . План занятий. Проверка домашнего задания. Обобщение и систематизация знаний. Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2р. Рассмотреть сопряженные комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.

Предложить учащимся ответить на вопросы 1. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа и ? 2. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы и ? 3. Что понимается под полярными координатами? 4. Формула перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической, и обратно Следовательно где - модуль числа один из аргументов.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Решить примеры. 1. Найти полярные координаты точки . 2. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме а г. Решение. Имеем Следовательно, 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа. Решение. Имеем Главным значением аргумента будет Следовательно Модуль данного числа . 4. Записать число в тригонометрической форме. Решение. и. Получаем . 5. Найти действительные корни уравнения. Решение.

Данное уравнение корней не имеет. Это уравнение равносильно следующим Последние уравнения несовместны, так как, что невозможно ни при каких значениях . 6. Решить систему во множестве комплексных чисел Решение Получаем 7. Докажите, что многочлен делится на Подведение итогов занятия. Домашнее задание. 1. Решить систему во множестве комплексных чисел Решение Получаем Занятие 3 Тема Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

Решение упражнений. Комплексные корни многочлена. Цель научить учащихся применять все формы комплексного числа при решении упражнений. Задачи Обучающая дать учащимся формулу Муавра, научить правильно извлекать корни из комплексного числа. Развивающая развивать у учащихся умение выделять главное, анализировать и делать логические выводы. Воспитательная цель прививать интерес к математике. При подготовке и проведении самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы необходимо показать роль личной ответственности каждого учащегося за качество выполненной работы, роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков.

Основные знания и умения. Знать правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Уметь выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Методические рекомендации. Вид занятия. комбинированный. Мотивация познавательной деятельности учащихся.

Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа. Кроме того, она позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, важные для прикладных вопросов. Последовательность изложения нового материала. 1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня . 2. Решение упражнений. План занятий.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить формулы тригонометрии. Обобщение и систематизация знаний. Следует обратить внимание учащихся, что сложение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме, а умножение, возведение в степень, деление и извлечение из корня рациональнее выполнять в тригонометрической форме. Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить действия. 1. Делится ли многочлен на ? Решение. Если данный многочлен делится на, то комплексное число должно быть его корнем.

Подставим это число в многочлен, получим. Следовательно, данный многочлен делится на . 2. Найти координаты точки M, изображающей комплексное число. Решение. Выделим действительную и мнимую часть этого числа 3. Найти все значения корней. Решение. Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме затем по формуле, находим , Следовательно, при при при при . 4. Найти все значения корней. Решение. Записав комплексное число в тригонометрической форме, находим , Отсюда, при, при, при . 5. Решить уравнение. Решение.

Имеем. Для вычисления всех значений применим формулу Отсюда . 6. Доказать, что. Решение. Левую часть разложим по формуле суммы кубов двух чисел 7. Найти число, сопряженное с числом. Решение. Заметим, что. Тогда Тогда сопряженное число . 8. Найти все значения Решение запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме. Получаем При имеем При имеем При имеем 9. Пользуясь формулой Муавра, выразить через степени и следующие функции кратных углов и. Формула Муавра дает. Используя формулу бинома Ньютона, получаем Поэтому , 10. Составить уравнение четвертой степени, имеющее корни Решение Искомое уравнение имеет вид Раскрывая скобки, получаем уравнение Подведение итогов занятия.

Домашнее задание. Подготовиться к контрольной работе. 1. Представте в алгебраической и в тригонометрической формах. Учащимся нужно представить число в виде и. Для этого нужно знать как находятся радиус и аргумент комплексного числа, как переходить от одной формы в другую, как возводить комплексное число в степень.

Решение Найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Запишем в тригонометрической форме число. Так как, а один из аргументов, то. Следовательно или. Теперь легко записать данное число в алгебраической форме. Ответ . 2. Докажите, что остаток от деления многочлена на равен теорема Безу. Решение При делении многочлена степени на многочлен первой степени в частном получится многочлен степени и в остатке многочлен нулевой степени.

Обозначив частное от деления на через и остаток, можем записать тождество. Подставив в это тождество, получим, т.е Занятие 4 Контрольная работа 1. Ответьте на следующие вопросы Что называется комплексным числом? Его общий вид. Какое число называется сопряженным к комплексному Что называется аргументом, модулем комплексного числа? Что называется мнимой единицей? Выделите действительную и мнимую часть числа . 2. Вычислите следующее выражение . 3. Докажите, что многочлен делится на . 4. Найдите выражения и через и . 5. Решите систему во множестве комплексных чисел 6. Составить уравнение пятой степени, имеющей корни Решение контрольной работы 1. Вычислите следующее выражение. Решение, получаем, получаем, получаем 2. Докажите, что многочлен делится на. Решение Разложим многочлен на множители По формуле Муавра Значит, делится на . 3. Найдите выражения и через и. Формула Муавра дает. Используя формулу бинома Ньютона, получаем Поэтому , 4. Решить систему во множестве комплексных чисел Решение Получаем 5. Составить уравнение пятой степени, имеющей корни Решение Искомое уравнение имеет вид Раскрывая скобки, получаем уравнение 3.4