Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма

Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма. Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма. Сопряженным (союзным) интегральным уравнением называется уравнение с ядром Если ядро симметрическое, то союзное уравнение совпадает с исходным.

Наряду с уравнением или, в операторной форме будем рассматривать союзное с ним интегральное уравнение (в операторной форме ) - непрерывная функция.

Теорема 1. Уравнение Фредгольма имеет не более счетного множества характеристических чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.

Теорема 2. Если значение правильное, то, как данное интегральное уравнение, так и союзное с ним уравнение, разрешимо при любом свободном члене и решение каждого из этих уравнении единственно.

Соответствующие однородные уравнения имеют только тривиальные решения. Теорема 3. Если значение характеристическое, то однородное интегральное уравнение, так же как и союзное с ним однородное уравнение, имеет нетривиальные решения. Число линейно независимых решений однородного интегрального уравнения конечно и равно числу линейно независимых решений однородного союзного уравнения. 2.1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода Линейные интегральные уравнения первого рода с постоянными пределами интегрирования имеют форму (4) где — неизвестная функция , —ядро интегрального уравнения, — некоторая известная функция, которая называется свободным членом или правой частью уравнения (4). Функции и обычно считают непрерывными, либо квадратично интегрируемыми на , Если ядро интегрального уравнения (4) непрерывно в квадрате, либо квадратично интегрируемо в этом квадрате, т. е. , (5) где В - постоянная, то его называют фредгольмовым ядром.

Уравнения с постоянными пределами интегрирования вида (4), имеющие фредгольмово ядро, называют уравнениями Фредгольма первого рода. Интегральное уравнение, полученное из (4) заменой ядра на называется союзным с (5) или транспонированным к нему. Замечание.

В общем случае переменные и в уравнении (4) могут изменяться в различных пределах (например, ). 2.2. Уравнения Фредгольма II рода Линейные интегральные уравнения второго рода с постоянными пределами интегрирования имеют форму , (6) где — неизвестная функция , —ядро интегрального уравнения, — некоторая известная функция, которая называется свободным членом или правой частью уравнения (6). Для удобства анализа в интегральном уравнении (6) по традиции принято выделять числовой параметр, который называют параметром интегрального уравнения.

Классы рассматриваемых функций и ядер были определены ранее.

Отметим, что уравнения с постоянными пределами интегрирования вида (6), имеющие фредгольмовы ядра или ядра со слабой особенностью, называются соответственно уравнениями Фредгольма второго рода или уравнениями со слабой особенностью второго рода. Число называется характеристическим числом или характеристическим значением интегрального уравнения (6), если существует нетривиальное решение соответствующего однородного уравнения ( ). Само же это нетривиальное решение называется собственной функцией интегрального уравнения, соответствующей характеристическому числу. Если является характеристическим числом, то величина называется собственным числом интегрального уравнения (6). Правильным или регулярным значением параметра называется такое его значение, при котором упомянутое однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Иногда характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения Фредгольма называют характеристическими числами и собственными функциями ядра. Интегральное уравнение, полученное из (6) заменой ядра на, называется союзным с (6) или транспонированным к (6). Замечание 1. Переменные и могут изменяться в различных интервалах (например, и ). Для определенности далее будем считать, что и (этого всегда можно добиться линейной подстановкой с помощью надлежащего выбора постоянных и ). Замечание 2. Случай, когда пределы интегрирования a и/или b могут быть бесконечными, вообще говоря, не исключается, но при этом следует внимательно проверять выполнение условия квадратичной интегрируемости ядра в квадрате . § 3 Уравнения Вольтерра.

Связь с задачей Коши Линейным интегральным уравнением Вольтерра I рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида (7) Линейным интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида . (8) Если ядро и - непрерывно дифференцируемые функции, причем при, то интегральное уравнение Вольтерра I рода сводится к интегральному уравнению Вольтерра II рода. Дифференцируя уравнение Вольтерра I рода по, имеем откуда получаем уравнение Вольтерра II рода где С формальной стороны уравнение Вольтерра отличается от уравнения Фредгольма лишь тем, что интеграл с постоянными пределами заменяется интегралом с переменным верхним пределом.

Между задачей Коши для линейного дифференциального уравнения -го порядка и уравнением Вольтерра существует тесная взаимосвязь.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (9) при начальных условиях (10) Полагая (11) и последовательно интегрируя, имеем и Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле последнего равенства, замечаем, что Из начальных условий (12) при находим откуда Аналогично получим и, так как интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, то. Поэтому (12) и (13) Соотношения (11) – (13) подставим в дифференциальное уравнение (9), тогда или Окончательно имеем Обозначая для краткости получаем интегральное уравнение Вольтерра (14) Зная функцию, из зависимости (13) можно найти и производную. Итак, интегральное уравнение Вольтерра включает в себя все данные задачи Коши для линейного дифференциального уравнения (9). Аналогичный результат можно получить для линейного дифференциального уравнения -го порядка. 3.1. Уравнения Вольтерра первого рода Линейные интегральные уравнений Вольтерра первого рода, которые имеют вид (15) где — неизвестная функция — ядро интегрального уравнения, — некоторая известная функция, которая называется свободным членом или правой частью уравнения (15). Функции и обычно считают непрерывными, либо квадратично интегрируемыми на. Ядро интегрального уравнения полагают непрерывным в квадрате, либо удовлетворяющим условию (16) где B — постоянная, т. е. квадратично интегрируемым в этом квадрате.

В формуле (16) полагается, что при. Рассматривают также полярные ядра (17) и логарифмические ядра (ядра, имеющие логарифмическую особенность) , (18) где ( ) и — непрерывны в. Полярные и логарифмические ядра составляют класс ядер со слабой особенностью. Уравнения, содержащие такие ядра, называются уравнениями со слабой особенностью.

Частным случаем уравнения (15) с ядром (17) является обобщенное уравнение Абеля: , Для непрерывных и правая часть уравнения (15) должна удовлетворять следующим условиям: 1°. Если, то должно выполняться условие . 2°. Если то правая часть уравнения должна удовлетворять условиям 3°. Если = то правая часть уравнения должна удовлетворять условиям Для полярных ядер вида (8) и непрерывных на правую часть интегрального уравнения дополнительные условия не накладываются.

Замечание 1. Случай, когда вообще говоря, не исключается.

Замечание 2. Если в уравнении (7) функции f(x) и — непрерывны и ограничены вместе со своими первыми производными на и в S соответственно, причем ( ) и, то существует единственное непрерывное решение уравнения (7). Замечание 3. Уравнение Вольтерра первого рода можно трактовать как уравнение Фредгольма первого рода, ядро которого обращается в нуль при . 3.2 Интегральные уравнения Вольтерра второго рода В разделе излагаются методы решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которые имеют вид: (19) где — неизвестная функция — ядро интегрального уравнения, — свободный член или правая часть интегрального уравнения. Классы функций, которым могут принадлежать, и. В этих классах функций решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода существует и единственно.

При уравнение (19) называют однородным, а при — неоднородным.

Замечание 1. Однородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет только тривиальное решение.

Замечание 2. Вывод о существовании и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода справедлив и для гораздо более широкого класса ядер и функций. Замечание 3. Случай, когда и/или, вообще говоря, не исключается, но при этом следует внимательно проверять выполнение условия квадратичной интегрируемости ядра в квадрате Решение уравнения (11) можно представить в виде , (20) где резольвента не зависит от свободного члена и нижнего предела интегрирования, а определяется только ядром интегрального уравнения.

Приведем две полезные формулы, выражающие решение одного интегрального уравнение через решения других интегральных уравнений. 1°. Пусть решению уравнения Вольтерра второго рода с ядром отвечает резольвента. Тогда решению уравнения Вольтерра второго рода с ядром отвечает резольвента . 2°. Пусть имеются два уравнения Вольтерра второго рода с ядрами и, которым соответствуют резольвенты и. Тогда уравнение Вольтерра с ядром (21) имеет резольвенту . (22) Отметим, что в формулах (21) и (22) интегрирование ведется по различным парам переменных.

Теорема. Уравнение Вольтерра II-го рода при любом значении имеет единственное решение для любой непрерывной функции. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений , , . Следствие 1. При любом однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Следствие 2. Оператор Вольтерра, действующий, не имеет характеристических чисел. Таким образом, оператор Вольтерра является примером вполне непрерывного оператора, не имеющего ни одного характеристического числа. § 4. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма второго рода , (23) Будем искать его решение в виде ряда по степеням параметра : (24) Подставим ряд (24) в уравнение (23). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях . подучим рекуррентную систему соотношений для определения функций : , , ,… Здесь , (25) где причем. Функции, определяемые по формулам (25) называются итерированными ядрами.

Для них справедливо соотношение (26) где - любое натуральное число, меньшее. Итерированные ядра можно непосредственно выразить через данное ядро по формуле. Все итерированные ядра, начиная с, будут непрерывными функциями в квадрате, если начальное ядро квадратично интегрируемо в этом квадрате.

Если данное ядро симметрично, то все итерированные ядра тоже симметричны. Такие результаты могут быть также получены с помощью метода последовательных приближений. Для этого следует использовать рекуррентное соотношение в котором нулевое приближение Решение уравнения (15) может быть представлено в форме , (27) где резольвента не зависит от свободного члена и определяется только ядром интегрального уравнения. Резольвента уравнения Фредгольма (27) удовлетворяет двум интегральным уравнениям , , в которых интегрирование ведется по различным парам переменных ядра и резольвенты. § 5. Метод последовательных приближений для уравнений Вольтерра Метод последовательных приближений для уравнения Вольтерра 2-го рода называется методом Пикара и выглядит так: для любого начального приближения определим, или, причем Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго рода . (28) Будем считать, что непрерывна на отрезке, а ядро непрерывно при. Будем искать решение методом последовательных приближений.

Для этого положим (29) где определяются по формулам: , , ,… Здесь , (30) где … причем при. Функция, даваемые формулами (30), называются итерированными ядрами. Для них справедливо соотношение , (31) где – любое натуральное число, меньшее. Последовательные приближения можно построить и по другой, более общей схеме: , (32) где какая-либо непрерывная на функция.

Получаемые таким образом функции также непрерывны на отрезке. При сделанных выше предположениях относительно и последовательность сходится при к непрерывному решению интегрального уравнения.

Удачный выбор «нулевого» приближения может привести к быстрой сходимости процесса. Следует отметить, что в частном случае данный метод переходит в метод, изложенный выше. Замечание. Если ядро квадратично интегрируемо в и, то последовательные приближения сходятся в среднем к решению уравнения (20) при любом выборе начального приближения.