Моделирование систем массового обслуживания.
Станция автосервиса работает 12 часов в сутки.
На станции два здания для рабочих разной специализации. В первом - боксов для обслуживания отечественных автомоби¬лей, во втором - боксов для ремонта «иномарок». Бригада «отечественного» бокса об¬служивает отечественный автомобиль в среднем за минут, а «иностранная» бригада тратит на иномарку в среднем минут. В течение рабочего дня автомобили прибывают на станцию, в случайные моменты времени с интенсивностью: отечественные - авто¬мобилей в день, иномарки - автомобилей в день. Если хотя бы один из необходимых боксов свободен, то автомобиль сразу же начинает обслуживаться. Если все заняты, то ав¬томобиль занимает свободное место на стоянке около соответствующего здания.
Если за¬няты все места, то он уезжает не обслуженным. Около «отечественного» здания мест, около «иностранного» - . Средняя прибыль, получаемая с отечественных и иностран¬ных автомобилей, одинакова и равна С руб. за машину. Компания рассматривает проект объединенной работы двух зданий, при которой каждый поступающий автомобиль без учета специфики поступает в любой свободный бокс или на объединенную стоянку.
Известно, «отечественная» бригада будет тратить на иномарки в среднем минут, а бригада, квалифицирующаяся на иномарках, минут на отечественный автомобиль. Определить целесообразность такого объединения с точки зрения: 1. Максимизации средней прибыли компании. 2. Минимизации среднего времени нахождения автомобиля на станции. Данные к задаче приведены в следующей таблице: С 2 3 45 60 56 36 4 3 340 70 55 Решение. 1. Сначала определим основные параметры системы до объединения.
Находим интенсивность обслуживания автомобилей одним боксом по формуле: . (12) (авт./мин), (авт./мин). Переведем интенсивность из авт./мин в авт./день. С учетом того, что рабочий день на станции 12 часов, а в часу 60 минут, получим: (авт./день), (авт./день). Вычислим интенсивность нагрузки по формуле: . (13) Определим вероятность того, что все боксы будут свободны по формуле: (14) где: при, при (15) (16) В нашей задаче: . То есть около 1% времени простаивают все «отечественные» боксы и около 4% «иностранные». Вероятность отказа в обслуживании из-за занятости всех боксов и всех мест в очере¬ди определяется по формуле: (17) То есть не обслуживаются из-за полной загруженности 44,2% отечественных автомобилей и 17% иномарок.
Относительная пропускная способность каждого здания равна: (18) Абсолютная пропускная способность - среднее число автомобилей, получив¬ших обслуживание за день, определяется по формуле: (19) Тогда средняя прибыль компании за день равна: (руб.) Среднее время пребывания одного автомобиля на станции (среднее время пребывания в системе) вычисляется по формуле: (20) где - среднее число обслуживаемых автомобилей, - среднее число автомобилей в очереди. (21) (22) при при (23) В нашей задаче: (раб.день) (мин.). То есть, в «отечественном» здании занято в среднем 1,95 бокса, 2,9 места на стоянке, а отечественный автомобиль проводит на станции в среднем 111,7 минуты (в очереди и во время обслуживания). (раб.день) (мин.). То есть, в «иностранном» здании занято в среднем 2,49 бокса, 0,51 места на стоянке, а иномарка проводит на станции в среднем 72,3 минут. Для определения среднего времени автомобиля на станции воспользуемся формулой: , где - доли «отечественных» и «импортных» машин в общем потоке.
Доля отечествен¬ных автомобилей равна, а доля импортных - . (мин.). То есть «средний» автомобиль проводит на станции 96,3 мин. 2. Теперь определим параметры системы после объединения.
Эти параметры будем обозначать волной.
Общее число бригад (каналов обслуживания) стало равно: Общая длина очереди: Вычислим общую интенсивность входящего потока: (авт./день). Определим среднюю интенсивность обслуживания одного «среднего» автомобиля «средней» бригадой. Она может быть вычислена по формуле: , где и - доли «отечественных» и «импортных» бригад в объединенной станции автосервиса; и - средние интенсивности; и - средние времена обслуживания соответ¬ствующими бригадами одной машины объединенного потока.
Эти параметры определим по формулам: (авт./мин) = (авт./день) (авт. /мин)= (авт./день) Доля «отечественных» бригад в общем количестве равна, а доля «импортных» бригад - . Тогда обобщенная интенсивность обслуживания равна: (авт./день). Используя формулы (13) – (22), найдем параметры данной системы. . То есть не обслуживаются из-за полной загруженности «объединенной» станции 30,5% автомобилей. Относительная пропускная способность объединенного автосервиса равна: Среднее число автомобилей, получивших обслуживание за день, равно: Средняя прибыль компании за день при объединенном автосервисе равна: (руб.) То есть средняя прибыль компании увеличилась.
Увеличение прибыли составило около 5 %: Вычислим теперь среднее время пребывания автомобиля на «объединенной» станции. (раб. день) (мин). Таким образом, среднее время пребывания автомобиля на станции заметно увеличилось почти на 16 %: %. В итоге, из анализа данной системы массового обслуживания, можно сделать следующий вывод: объединение двух зданий может привести к незначительному увеличению прибыли при заметном увеличении времени, проводимом автомобилем на станции.
Послед¬ний факт может пагубно сказаться на имидже компании, и привести к большим потерям. Для данной станции автосервиса объединение нецелесообразно.