ТЕМА IV. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ 1. Множество натуральных чисел Определение Множество называется числовым, если его элементами являются числа. Известны следующие числовые системы N - множество натуральных чисел Z - множество целых чисел Q - множество рациональных чисел R - множество действительных чисел С - множество комплексных чисел. Между этими множествами установлены следующие отношения N Z Q R C. В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы если множество А расширяется до множества В, то 1 А B 2 операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В 3 во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А 4 множество В является минимальным расширением множества А, обладающим свойствами 3. Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано. 1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом натуральный ряд начинается с 2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом в натуральном ряду нет повторений. 3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число натуральный ряд бесконечен. 4. Аксиома индукции. Пусть М N. Если 1 1 М 2 а М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а1 то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.
Итак, множество N 1, 2, 3, 4 На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.
П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Проверим справедливость данного утверждения для n 1 , т.е. 2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т.е. при n k 3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n k1 Ho , а потому , а так как , следовательно Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо n N. 2. Множество целых чисел Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания.
Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z. Поэтому ZN 0, -1, -2 или Z 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 т.е. множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.
Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.
Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а bq r, 0 r b . О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р. О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n 1 существует единственное разложение на простые множители , где p1, p2, pk простые числа, а - натуральные числа.
Разложение называется каноническим.О п р е д е л е н и е. 1 Общим делителем целых чисел а1, а2, аn называется целое число d, такое, что a1 d, а2 d, аn d. 2 Наибольшим общим делителем целых чисел а1, а2, аn называется такой положительный общий делитель чисел а1, а2, аn, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
Обозначается d а1, а2, аn. Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.