Двойной интеграл в полярных координатах

Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения РЕФЕРАТ Выполнил студент группы 60-5ЭВТ Немцев Михаил Краснодар 1998г. Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле 1 при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x r cos , y r sin . 2 Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r ri окружности и i лучи рис.1. Введем обозначения rj rj1 - rj, i i1 - i Так как окружность перпендикулярна ортогональна радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна Si rj i rj 3 Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны xij rj cos i, yij rj sin i. И следовательно, fxij,yij frj cos i, rj sin i 3 Двойной интеграл 1 представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы 3 и 3, получаем 4 где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма 4 является интегральной суммой для функции fr cos, r sinr, соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно 5 Сравнивая формулы 4 и 5, получим окончательно 6 Выражение dS r d dr называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле 1 перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам 2, а вместо элемента площади dS подставить выражение 7. Для вычисления двойного интеграла 6 его нужно заменить повторным.

Пусть область интегрирования S определяется неравенствами Где r1, r1 - однозначные непрерывные функции на отрезке рис 2. Имеем 8 Где Fr, rfr cos, r sin Пример 1. Переходя к полярным координатам и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R1, с центром в точке О0,0 рис 3. Так как то применяя формулу 6, получим Область S определена Неравенствами Поэтому на основании формулы 8 имеем Пример 2. В интеграле 9 перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y0, yx, x1 рис 4. В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом 0, 4, r cos1 и, следовательно, область S определяется неравенствами Отсюда на основании формул 6 и8, учитывая, что имеем.