Математический анализ

2ГЛАВА1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 21 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА, 2НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ. 2ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо 0 называется любой интервал,содержащий эту точку. 2ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо 0 называется окрестность т.Хо, из которой выброшена сама точка. 2ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ 0называется любой полу- бесконечный промежуток вида а . ОКРЕСТНОСТЬЮ - БЕСКОНЕЧНОСТИ 0называется любой полу- бесконечный промежуток вида - b. 2ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ 0 называется объединение двух любых окрестностей и - 2 0 . Функция fх называется 2 бесконечно малой 0 в окрестности т.Хо,если для любого числа 0 существует проколотая окр. т. Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство fх . 0 U U fx Число 2 А 0 называется 2 пределом 0 ф-ции fх в т.Хо,если в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию fх можно представить в виде fхА х,где х-бесконечно малое в окрестности т.Хо. limfxА Ф-ция fх называется 2 непрерывной 0 в т.Хо,если в некоторой окр.т.Хо эту ф-цию можно представить в видеfхfх х, где х-б.м. в окр.т. Хо. Иными словами,fх-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции. 2ТЕОРЕМА 0Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения. 2Схема 01.ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б.м. 2СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 2Теорема0Единственная константа,явл-ся б.м 2Теорема0Если х и х -б.м. в окр.т. Хо,то их сумма тоже б.м. в этой окр. Ф-ция fх называется 2 ограниченной 0 в окр.т.Хо,если сущ. проколотая окр.т.Хо и сущ. число М 0,такие что fх М в каждой точке прок.окр.т.Хо. U M 0 fx M x U 2Теорема0Если х -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена в этой окр. 2Теорема4О произведении б.м. на ограниченную Если ф-ция х -б.м а fх -ограниченная в окр.т.Хо,то хfх -б.м. в окр.т. Хо. 2Теорема5О промежуточной б.м. Если х и х -б.м. в окр.т.Хо и х х х - 2 - в окр.т.Хо U ,то х -б.м. в окр.т.Хо. Две б.м. называются 2 сравнимыми 0,если существует предел их отношения.

Б.м. х и х в окр.т.Хо называются 2 одного порядка 0, если предел их отношений есть число не равное 0. Две б.м. в окр.т.Хо называются 2 эквивалентными 0,если предел их отношения равен 2Теорема1 0Если и -эквивалентные б.м то их разность есть б.м. более высокого порядка,чем и чем . 2Теорема0Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б.м. 2Таблица основных эквивалентов б.м. Х0 sinх х е-1 х ln1х х 1х -1 х 2Асимптотические представления Х0 sinxx0x e 1x0x ln1xх0x 1x 1 x0x 2Св-во экв.б.м. Если 2 0 х и 2 0 х -экв.б.м. в окр.т.Хо,а 2 0 х и 2 0 х -экв.б.м. в окр.т. Хо и сущ. lim А,то тогда сущ. lim и он равен А. 22 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. Если х и х -б.м. в окр.т.Хо и lim 0,то х называется 2бесконечно малой более высокого порядка, 0чем х. хо х. 2Замечание 0Если х-более высокого порядка,чем х, то хоk х,k2Теорема БЕЗУ 0Если -корень многочлена,то многночлен делится без остатка на х 23 ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ. 2ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля Если предел ф-ции fх в т.Хо равен А и А 0,то А2 fх 3А2 в некоторой проколотой окр.т.Хо. 2Замечание 0Если предел А 0,то 3А2 fх А2ТЕОРЕМА1.Необходимое условие ограничиности ф-ции, 2имеющей предел Если ф-ция fх имеет в точке предел,то она ограничена в окрестности этой точки. 2ТЕОРЕМА2.Арифметические операции над ф-циями, 2имеющих предел. Если fх и fх имеют предел в т.Хо lim fхА lim fхB,то тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов. 2.сущ.предел их произведения и он равен произведению пределов. 3.если В0,то сущ.предел отношения и он равен отношению пределов 3 - 2ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ 2Т.0Если ф-ция fх,имеющая предел в т.Хо,больше 0, то fх 0 в прокол.окр.т.Хо. Наоборот,если fх,имеющая предел в т. Хо,меньше 0, то fх 0 в прокол.окр.т.Хо. 2Т.0Если ф-ция fх имеет предел в т.Хо и fх 0 в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел fх 0 в т.Хо. 2Т.0Если ф-ции fх и fх имеют предел в т.Хо lim fхА lim fхВ и fх fх в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и пределы А В. 2Т.4 о пределе промежуточной ф-ции Если ф-ции fх и fх имеют один и тот же предел А в т. Хо и ф-ция fх fх fх в некоторой прокол. окр.т.Хо,то тогда сущ.предел fх и он равен А. 2ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной 2ф-ции Если ф-ция fu непрерывна в т.Uо,а ф-ция u х имеет предел в т.Хо,и предел ф-ции х равен Uо,то тогда сложная ф-ция f х имеет предел в т.Хо и этот предел равен fUо,т.е. предел f х равен значению ф-ции от предела .f хflim х. 4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e. 2ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ 0 называется ф-ция,область определения которой -натуральные числа.

Формула 2 НЬЮТОНА-бинома 2ab с a b 2cnkn-k 2c 0 2- 0кол-во сочетаний из n по k. 2n123 n 2СОЧЕТАНИЯМИ 0 называются всевозможные подмножества данного множества,в частности рассматривают сочетания множества из n-элементов по k-элементов. 2Замечание 2Таблица биномиальных коэффициентов 2n1 1 1 2n2 1 2 1 2n3 1 3 3 1 2n4 1 4 6 4 1 2n5 1 5 10 10 5 1 2n6 1 6 15 20 15 6 1 lim1x e 5 ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В 2АСИМТОТЫ. Ф-ция fх называется 2 бесконечно большой 0 в окр.т.Хо,если 1fх будет б.м. 2Асимтоты Прямая Т называется 2 асимтотой 0 кривой L,если растояние от т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда - 4 - т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда растояние от т.М до фиксированной т.О стремится в беско- нечность. 2Асимтоты графиков ф-ции 2Теорема1 0Для того,чтобы прямая kxb была асимтотой при х ,необходимо и достаточно,чтобы fхkxb х при х . 2Теорема2 0Для того,чтобы прямая ykxb была ас-той гр-ка ф-ции fх при х ,необходимо и достаточно существование предела при х fххk и сущ.предела при х fх-kxb,т.е если хотя бы один из пределов не сущ то ас-ты нет. 2Исследование поведения ф-ции в окр.точки 2разрыва.Классификация точек разрыва 20ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА- 0точка, в которой ф-ция имеет предел,но не является непрерывной. 21ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА- 0точка,в которой ф-ция имеет предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны. 22ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА 0-точка,которая не является точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода. 2 6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ. 2ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА 0-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке, т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций, имеющих предел,распространяются на непрерывные. 2Свойства 0если fх непрер.в т.Хо и fХо 0,то ф-я больше нуля в некоторой окр.т.Хо илиесли fх и fх непрер. в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке. 2ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА Ф-ция fх называется 2 непрерывной на отр.ab 0,если она непрерыв.в каждой точке интервала ab и непрерывна в т.А справа и в т.В слева. lim fxfa,lim fxfb 2ТЕОРЕМЫ КОШИ 2Теорема1 0Если ф-ция fх непр. на отр.ab и на концах отрезка принимает значения разных знаков fаfb 0, то сущ.точка С на отр.ab,такая что fС0. 2Теорема2 0Если ф-ция непр. на отр.ab и на концах отр. принимает разные значения fafb,то тогда для любого числа Q,лежащего между fа и fb,сущ.т.С,принадлеж.отр. ab,такая что fСQ. 2ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА 2Теорема1 0Если ф-ция fх непр. на отр.ab,то сущ. числа m fx M в каждой точке этого отрезка т.е.ф-я ограничена 2Теорема2 0Если ф-ция fх непр.на отр. ab,то сущ. точки x и x ab,такие что fx fx fx в каждой точке этого отрезка. 2ГЛАВА2ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 2 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И . 0 2СВ-ВА 5 - Отрезок AB называется 2направленным 0,если указана,какая из точек A и B явл.началом,а какая концом.

Два направленных отрезка называются 2равными 0,если они лежат на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют одинаковые длины,т.е.если один получается из другого парал. переносом. 2Вектором 0 называется направленный отрезок.

Векторы называются 2коллинеарными 0,если они лежат на одной прямой или на парал. прямых.

Векторы называются 2компланарными 0,если они лежат в одной или парал. пл-тях. 2Суммой векторов a и b 0называется вектор,обозначенный ab,начало которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b, при условии,что начало вектора b совмещено с концом а. 2Произведением а на число 0называется вектор,обозначенный а,такой что 1. a a a0,если 0 2. аа аа,если 0 аа,если 0 2СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ 21.Коммутативность Для любых а и bаbba 2замечание 0отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b, причем начало всех трех векторов совмещены. 22.Ассоциативность Для любых а,b и саbсаbс 2замечание 0отсюда следует,что чтобы сложить векторы а , а а нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая. 3.Существует вектор,называемый 2нуль-вектор 0,такой что для всех а а0а. 4.Для любого а сущ.вектор,называемый 2противоположным 0,обознач а, такой что а-а0 5.Для всех а1аа 6.Для любого а и любых чисел и а а а 7.Для любого а и любых чисел и а а а 8.Для любых а и b и любого числа аb а b 2Разностью векторов а и b 0 называется вектор а-b Если даны векторы а ,а а и числа , ,то вектор а а а -называется 2линейной комбинацией векторов а ,а а с коэффициентами , . Множество,для элементов которого определены операции сложения и умножения на число,для которых справедливы выше восемь св-в аксиом называется 2линейным пространством. 2 2. Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации 6 - Система векторов а ,а а называется 2линейно зависимой 0,если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.

ИЛИ Для того,чтобы система векторов а ,а а была 2линейно зависи- 2мой 0 необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , , не равные 0,такие что линейная комбинация а а а равнялась нуль-вектору.

Система векторов называется 2линейно не зависимой 0,если она не яв- ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв- ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком- бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда все коэффициенты равны 0. 2Размерностью линейного пространства 0 называется максимальное число линейно не зависимых векторов. 2Базисом 0называется линейно независимая система векторов,такая, при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы. 2Теорема единственности Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому базису единственно а е е е Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются 2 координатами 0. а 2замечание 0у одного и того же вектора в разных базисах разные координаты. 2Условие коллинеарности 2замечание 0если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство нужно понимать так,что в числителе тоже 0. 2Каноническое ур-е прямой x x my-y pz-z q 2 3. ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. 2СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ. 2Углом 0 между двумя векторами отличными от 0 называется наименьший угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов. 2Численной проекцией 0 вектора а на вектор b b0 называется число равное произведению модуля а на cos угла между ними. Пр ааcos a,b 2Св-ва 0 Пр аbПр аПр b Пр kakПр а 2Проекцией вектора на ось 0 называется длина отрезка АВ между основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось. 2Радиус-вектором 0 точки пространства называется вектор,идущий в эту точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.

Скалярным произведением 0 а и b называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. 2CВ-ВА 1.условие перпендикулярности векторов а,b0 а 2 0b 2.коммутативность а,bb,а 3.билинейность 3.1 а а bа ,bа ,b а,b b а,b а,b 3.2 а,bа, b а,b 2Правило 0Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. а,bx x y y z z 2Приложения - 7 - 1.а а,а x y z ,если аx,y,z 2.а,b0 а 2 0b 3.cos а,bа,bаb 4.Пр аа,bb 2Направляющими косинусами углов 0 называются cos углов,которые вектор образует с векторами базиса i,j,k. cos xa cos ya cos za cos cos cos 1,т.к. x y z a1. 4. 2ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА. 2Матрицей порядка mn 0 называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. 2Квадратной матрицей n-порядка 0 называется матрица,у которой число строк равно числу столбцов и равно n. Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое 2определителем матрицы. 2Определителем кв.матрицы n-порядка 0 называется число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем перед каждым произведением по определенному правилу ставится знак или 2Алгебраической суммой 0 называется сумма,в которой где-то ставится ,а где-то Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца образуют 2 главную диагональ матрицы.

Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими номерами называется 2 транспортированием, 0а получившаяся матрица- 2транспортированной. 2СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 21. 0При транспортировании матрицы ее определитель не меняется. 22. 0Если в матрице поменять местами две строки столбца,то ее определитель умножится на -1. 23. 0Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки столбца на их алгебраические дополнения. 24. 0Если все элементы какой-нибудь строки столбца матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на k. 25. 0Если все элементы какой-нибудь строки столбца матрицы представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки у всех трех определителей одинаковы. 26. 0Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк столбцов. 27. 0Если элементы одной строки умножить на соответствующие алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0. 28. 0Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой- нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные строки совпадают со строками данного определителя. 2Минором 0,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку и столбец,в которых стоит а . 2Алгебраическим дополнением 0 элемента а называется число равное 2А М -1 2Достаточные признаки 2равенства нулю 2определителя 21. 0Если все элементы какой-нибудь строки столбца матрицы равно нулю,то определитель равен 0. 22. 0Если в матрице есть две одинаковые строки столбца,то ее определитель равен 0. 23. 0Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы которой пропорциональны,то ее определитель равен 0. 2Необходимое и достаточное 2условие равенства нулю 2определителя Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и достаточно,чтобы ее строки столбцы были линейно зависимы. 2 5. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 2Тройка некомпланарных векторов a,b,c, 0начало которых совмещены, называется 2 правой, 0если кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В противном случае тройка называется 2 левой. 2СВ-ВА ориентированных троек векторв 21. 0Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.

Такая перестановка называется 2 циклической перестановкой. 0Т.е. при цикл.перестановке ориентация тройки не меняется. 22. 0Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е если поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки изменится. 2Векторным произведением 0 a и b называется вектор с,такой что 1.если а и b коллинеарны аb,то их векторное произведение сa,b0. 2.если а и b не коллинеарны,то сa,b перпендикулярен а и b, т.е.a,b пл-ти векторов а и b и a,b направлен в такую сторону,что тройка векторов a,b,a,b -правая.Длина векторного произведения равна a,bаbsin abS параллелограмма, построенного на векторах а и b. 2СВ-ВО векторного произведения 21. 0a,b0 ab. 22.Антикоммутативность a,bb,a,но a,b-b,a. 23.Билинейность 3.1a a ,ba ,ba ,b a,b b a,b a,b . 3.2 a,ba, b a,b. i j k a,bx y z x y z 2Нормальный вектор 0 -это вектор перпендикулярный пл-ти. AxByCzD0 nA, B,C 2Углом между двумя пл-тями 0называется угол между их нормальными векторами. 2Углом между прямой и пл-тью 0называется угол между прямой и ее проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти. 2Смешанным произведением векторов 0 a ,b ,c называется 2 0число равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор с. a,b,c 2Геометрический смысл 2смешанного произведения 21. 0Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение равно 0. 22. 0Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль .смешанного произведе- ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах, причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра- вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая. 2СВ-ВА смешанного 2произведения 21. 0a,b,ca,b,c a,b,c -смешанное произведение a,b,c. a,b,c -смешанное произведение b,c,a. Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же и ориентации троек одинаковы при циклической перестановки ориента- ция троек не меняется.

Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить a,b,ca,b,c 22. 0a,b,cb,c,ac,a,bc,a,b-b,a,c-a,c,b-c,b,a 23. 0Для того,чтобы a,b,c были компланарными a,b,c0 24. 0Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми a,b,c0 25.Трилинейность 5.1 ab,c,da,c,db,c,d 5.2 a,b,ca, b,ca,b, c a,b,c 2Вычисление смешанного 2произведения ax ,y ,z bx ,y ,z cx ,y ,z x y z a,b,cx y z x y z 2 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.

У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора. 2Угловым коэффициентом 0прямой, не парал-ной оси y называ- ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы она стала парал-ной данной прямой. 2tg k -k 1k k Для перпендикулярных прямых 1k k0 Для параллельных прямыхk k 2ГЛАВА2ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. 2 1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА. Ф-ция fх называется 2дифференцируемой 0в т.Хо, если ее приращения fх х-fх можно представить в виде Qх хо х,где о х -б.м не зависящая от х, Q х -б.м. более высокого порядка, чем х. Qх lim fх х-fх х Этот предел называется 2производной ф-цией в точке 0и обозначается fх . 2Производной ф-цией fх 0в т.Хо называется предел отноше- ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда х0. х х a a lna, e e log x1xlna, lnx1x sinxcosx cosx-sinx tgx1cos x ctgx-1sin x arcsinx1 1-x arccosx-1 1-x arctgx11x arcctgx-11x shxchx shxe -e 2 chxshx chxe e 2 thx1ch x thxshxchx cthx-1sh x cthxchxshx fx x-fx fx xo x, слагаемое fx x -линейно зависит от х, и если fх0, то это слагаемое б.м. одного порядка с х. Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно называется 2 дифференциалом ф-ции 0 в т.Хо. 2Дифференциалом 0дифференцируемой ф-ции в т.Хо называется главная часть приращения, линейно зависящая от х. dffx x Асимтотическое представление fx xfx fx xo x fx xfx df 2 2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. 1. Если ф-ция fx тождественна const, то ее производная тождественна 0. C0 2. Если ф-ция ux и vx дифф. в т.Хо, то 1 их линейная комбинация дифф. в этой точке и u v u v 2 их произведение дифф. в т.Хо и uvuvuv uvwuvwuvwuvw 3 если кроме того vx 0, то отношение uvuv-uvv 3. Правило дифф. сложной ф-ции. fu дифф. в т.Uo, ux дифф. в т.Хо, ux u fux -дифф. в т.Хо и fuxfu ux.