Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

Мнстерство освти Украни ДАЛПУ Кафедра автоматизац технологчних процесв приладобудування КУРСОВА РОБОТА з курсу Математичне моделювання на ЕОМ на тему Розв язок диференцального рвняння виду апупап-1уп-1а1у1а0укх при заданих початкових умовах з автоматичним вибором кроку методом Ейлера Виконала студентка групи БА-4-97 Богданова Ольга Олександрвна Холоденко Веронка Миколавна Переврила Заргун Валентина Василвна 1998 Блок-схема алгоритма Блок-схема алгоритма начало уfx,y yx0y0 x0, x0a h, h2 k0 xk12xkh2 yk12ykfxk, ykh2 бk fxk12, yk12 xk1xkh yk1ykбkh нет kn да x0, y0, x1, y1 xn, yn конец ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ Решить дифференциальное уравнение уfx,y численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1, хn и числа у0, не определяя функцию уFx, найти такие значения у1, у2 уn, что уiFxii1,2 n и Fx0y0. Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции УFx получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов.

Величина hxk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции ух. Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка yfx,y 1 с начальным условием xx0, yx0y2 Требуется найти решение уравнения 1 на отрезке а,b. Разобьем отрезок a, b на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2 хn, где xix0ih i0,1 n, а hb-an-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения ухiyi вычисляются последовательно по формулам уihfxi, yi i0,1,2. При этом искомая интегральная кривая уух, проходящая через точку М0х0, у0, заменяется ломаной М0М1М2 с вершинами Мixi, yi i0,1,2, каждое звено МiMi1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения 1, которая проходит через точку Мi. Если правая часть уравнения 1 в некотором прямоугольнике Rx-x0a, y-y0bудовлетворяет условиям fx, y1- fx, y2 Ny1-y2 Nconst, dfdxdfdxfdfdy M Mconst, то имеет место следующая оценка погрешности yxn-yn hM2N1hNn-1, 3 где ухn-значение точного решения уравнения1 при ххn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге. Формула 3 имеет в основном теоретическое применение.

На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h2. Погрешность более точного значения уn оценивается формулой yn-yxnyn-yn. Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков.

Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1 yfx,y с начальным условием yx0y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участке x0,x0h у интегральную кривую заменим прямой Nk yyx линией.Получаем точку Мкхк,ук. Мк Мк yk1 yk хк хк12 xkhxk1 х Через Мк проводим касательную уукfxk,ykx-xk. Делим отрезок хк,хк1 пополам xNkxkh2xk12 yNkykfxk,ykh2ykyk12 Получаем точку Nk. В этой точке строим следующую касательную yxk12fxk12, yk12бk Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом бк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк. В качестве ук1 принимаем ординату точки Мк. Тогда ук1укбкh xk1xkh 4 бkfxkh2, ykfxk,Ykh2 ykyk-1fxk-1,yk-1h 4-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук12 в точках хк12, затем находят значение правой части уравнения 1 в средней точке yk12fxk12, yk12 и определяют ук1. Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 13 разницы этих значений ук-ухк13yk-yk, где ух-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков.Например, чтобы решить уравнение второго порядка yfy,y,x c начальными условиями yx0y0, yx0y0, выполняется замена yz zfx,y,z Тем самым преобразуются начальные условия yx0y0, zx0z0, z0y0. РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера 1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y2x-y Требуется найти решение на отрезке 0,1 c шагом h1-050,2 Начальные условия у01 Пользуясь рекурентными формулами 4, находим 1. x10,2 х120,1 yx1yx0б0h yx12yx0fx0,y0h2 fx0,y020-1-1 yx121-10,10,9 б020,1-0,9-0,7 y11-0,10,20,86 2. yx2yx1б1h x20,20,20,4 x112x1h20,20,10,3 yx112yx1fx1,yx1h2 fx1,y120,2-0,86-0,46 yx1120,86-0,460,10,814 б120,3-0,814-0,214 y20,86-0,2140,20,8172 3. x30,40,20,6 x212x2h20,40,10,5 fx2,y220,4-0,8172-0,0172 y2120,8172-0,01720,10,81548 б220,5-0,815480,18452 y30,81720,184520,20,854104 4.x40,8 x312x3h20,60,10,7 fx3,y320,6-0,8541040,345896 y3120,8541040,3458960,10,8886936 б320,7-0,890,5113064 y40,8541040,51130640,20,95636528 5.x51 x4120,80,10,9 fx4,y420,8-0,9560,64363472 y4120,9560,6430,11,020728752 б420,9-1,020,779271248 y50,9560,77920,21,11221953 2. Дано уравнение второго порядка y2x-yy Находим решение на том же отрезке 0,1 c шагом h0,2 Замена yz z2x-yz Начальные условия у01 z01 1.x10,2 x120,1 yz1yz0б0h zx1,y1zx0,y0в0h yz12yz0fz0,y0h2 zx12,y12zx0,y0fx0,y0,z0h2 fz0,y0f101 fx0,y0,z0f2020-110 y12110,11,1 z12100,11 б0z01 в020,1-1,110,1 y110,211,2 z110,20,11,02 2.x20,4 x1120,3 f11z11,02 f2120,2-1,21,020,22 y1121,21,020,11,1 z1121,020,220,11,042 б1z1121,042 в120,3-1,3021,0420,34 y21,21,0420,21,4084 z21.020,340,21,088 3.x30,6 x2120,5 f12z21,088 f2220,4-1,40841,0880,4796 y2121,40841,0880,11,5172 z2121,0880,47960,11,13596 б2z2121,13596 в220,5-1,51721,135960,61876 y31,40841,1360,21,635592 z31,0880,618760,21,211752 4.x40,8 x3120,7 f13z31,211752 f2320,6-1,6361,2120,77616 y3121,6361,2120,11,7567672 z3121,2120,7760,11,289368 б3z3121,289368 в320,7-1,75681,2890,9326008 y41,61,2890,21,8934656 z41,2120,930,21,39827216 5.x51 y4120,9 f14z41,39827216 f2420,8-1,8931,3981,10480656 y4121,8931,3980,12,0332928 z4121,3981,1050,11,508752816 б4z4121,508752816 в420,9-2,031,51,27546 y51,8931,50,22,195216163 z51,3981,2750,21,65336416 3. Чтобы решить уравнение третьего порядка y2x-y-yy на отрезке 0,1, с шагом h0,2 и начальными условиями y01 y01 y01 необходимо сделать 3 замены ya y0a01 yab y0b01 b2x-y-ab 1.x10,2 x120,1 ya1ya0a0h ya12ya0f10h2 ab1ab0в0h ab12ab0f20h2 bx1,y1,a1bx0,y0,a0г0h bx12,y12,a12bx0,y0,a0f30h2 f10fa0,ya01 y12110,11,1 f20fb0,ab01 a12110,11,1 f30fx0,y0,a0,b0-1 b121-10,10,9 б0a121,1 ya111,10,21,22 в0b120,9 ab110,90,21,18 г020,1-1,1-1,10,9-1,1 bx1,y1,a11-1,10,20,78 2.x20,4 x112x1h20,3 f11a11,18 y1121,221,180,11.338 f21b10,78 a1121,180,780,11,258 f3120,2-1,22-1,180,78-1,22 b112-1,220,10,780,658 б1a1121,258 y21,221,2580,21,4716 в1b1120,658 a21,180,6580,21,3116 г120,3-1,338-1,2580,658-1,338 b20,78-1,3380,20,5124 3.x30,6 x2120,5 f12a21,3116 y2121,471,30,11,60276 f22b20,5124 a2121,31160,50,11.36284 f3220,4-1,47-1,310,512-1,4708 b2120,4-1,40,10,36542 б21,36284 y31,47161,31160,21,744168 в20,36542 a31,31160,36540,21,384664 г220,5-1,6-1,360,365-1,60018 b3 0,51-1,600180,20,192364 4.x40,8 x3120,7 f131,384664 y3121,741,380,11,8826364 f230,192364 a3121,380,190,11,4039204 f3320,6-1,7-1,380,19-1,736488 b3120,19-1,70,10,0187152 б31,4039204 y41,741,40,22,0249477 в30,0187152 a41,380,91870,21,388403 г320,7-1,88-1,40,0187-1,8678416 b40,192-1,870,2-0,1812235 5.x41 x4120,9 f141,388403 y4122,021,3880,12,16379478 f24-0,1812235 a4121,4-0.1810,11,370306608 f3420,8-2,02-1,388-0,18-1,9945834 b412-0,18-1,990,1-0,38066266 б41,3703 y52,021,370,22,2990038 в4-0,38066 a51,388-0,380,21,3122669 г420,9-2,16-1,37-0,38-2,114764056 b5-0,181-2,10,2-0,6041734 Программа на Turbo Pascal uses crt,pram,kurs11 var yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,xarray 0 10 of real y,a,barray0 10,0 1 of real i,n,ointeger c,d,h,kreal label lap1 begin screen1 clrscr writelnвведите наивысший порядок производной не больше трех readlnn if n0 then begin writelnэто прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера goto lap1end writelnвведите коэффициенты a0,a1 for i0 to n do readlnli if n1 and l10 or n2 and l20 or n3 and l30 then begin writelnделение на ноль goto lap1 end writelnвведите коэффициент при x readlnk writelnвведите отрезок readlnc,d o5 habsd-co writelnшаг,h11 writelnзадайте начальные условия yx for i0 to n-1 do readlnvi if n3 then begin yx0v0 ay0v1 by0v2 p0kc-l0v0-l1v1-l2v2l3 x0c gotoxy32,1 write gotoxy32,2 write x y a b gotoxy32,3 write ,c77, ,yx077, ,ay077, ,by077, for i0 to o-1 do begin xixih2 yi,1yxih2ayi ai,1ayih2byi bi,1byih2pi ffikxi-l0yi,1-l1ai,1-l2bi,1l3 xyixih2 yxi1yxihai,1 ayi1ayihbi,1 byi1byihffi xi1xih2 pi1kxyi-l0yxi1-l1ayi1-l2byi1l3 end for i0 to o-1 do begin gotoxy32,4i write ,xyi77, ,yxi177, ,ayi177, ,byi177, end gotoxy32,4o write end if n2 then begin x0c yx0v0 ay0v1 p0kc-l0yx0-l1v1l2 gotoxy32,1 write gotoxy32,2 write x y a gotoxy32,3 write ,c77, ,yx077, ,ay077, for i0 to o-1 do begin xixih2 yi,1yxih2ayi ai,1ayih2pi ffikxi-l0yi,1-l1ai,1l2 xyixih2 yxi1yxihai,1 ayi1ayihffi xi1xih2 pi1kxyi-l0yxi1-l1ayi1l2 end for i0 to o-1 do begin gotoxy32,4i write ,xyi77, ,yxi177, ,ayI177, end gotoxy32,4o write end if n1 then begin x0c yx0v0 p0kx0-l0yx0l1 for i0 to o-1 do begin xixih2 yi,1yxih2pi xyixih2 ffikxi-l0yi,1l1 yxi1yxihffi xi1xih2 pi1kxyi-l0yxi1l1 end gotoxy32,1 write gotoxy32,2 write x y gotoxy32,3 write ,c77, ,yx077, for i0 to o-1 do begin gotoxy32,4i write ,xyi77, ,yxi177, end gotoxy32,o4 write end lap1readln pramo delay10000 clrscr end. ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся заставки.

Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs11.tpu. Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия порядок производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения ух0. На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами.

После нажатия enter выводится вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ 1 ввод данных, используемых в программе 2 использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных условий 3 присвоение начальных условий для дифференциального уравнения третьего порядка 4 вывод таблицы со значениями 5 ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка 6 присвоение начальных условий для решения дифференциального уравнения второго порядка 7 вывод таблицы для уравнения второго порядка 8 формулы метода Эйлера для уравнения второго порядка 9 начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка 10 формулы метода Эйлера для решения уравнения первого порядка 11 вывод таблицы 12 обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка экрана, конец программы.