Приближенное вычисление определенных интеграловПри решении физических и технических задач приходитсянаходить опре деленные интегралы от функций, первообразные которых невыражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости выводаприближенных формул вычисления определенных интегралов.Познакомимся с двумя изних формулой трапеций и формулой парабол. 1. Пусть требуется вычислить интеграл , где f x - непрерывная функция. Для простоты рассужденийограничимся случаем, когда f x sup0. Разобьем отрезок a, b на n отрезковточками a x0 lt x1 lt x2 lt lt xk-1 lt xk lt lt xn bи с помощью прямых х хk построим n прямолинейныхтрапеций эти трапеции заштрихованы на рис. 1 . Сумма площадей трапеций приближенноравна площади криволинейной трапеции, т.е. Где f xk-1 и f xk - соответственно основания трапеций xk - xk-1 b-a n - их высоты. Таким образом, получена приближенная формула которая и называется формулой трапеций.
Этаформула тем точнее, чем больше n.Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенноезначение.
Пусть n 5. Тогда имеем a x0 0,x1 0,2, x2 0,4, x3 0,6, x4 0,8, x5 1 bи соответственно f x0 0, f x1 0,04,f x2 0,16, f x3 0,36, f x4 0,64, f x1.Следовательно, Точное значение интеграла равно 0,3333 поэтомуабсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точностьдостаточна.Если увеличить число n, то точностьбудет большей.
Так, например, при n 10т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.В более полных курсах высшей математики доказывается,что если функция f x имеет на a, b непрерывную вторую производную, то абсолютнаявеличина погрешности формулы трапеций не больше, чем где k -наибольшеезначение на отрезке a, b .Следует отметить, что с увеличением n увеличиваетсяне только точность вычисления определенного интеграла, но и объемвычислительной работы.Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.Вычислим по формуле трапеции интеграл при n 10. Разобьемотрезок 0,1 на 10 равных частей точками х0 0,х1 0,1, х9 0,9, х1. Вычислимприближенно значения функции f x в этих точках f 0 1,0000,f 0,1 0.9091, f 0,2 0,8333, f 0,3 0.7692, f 0,4 0,7143, f 0,5 0,6667,f 0,6 0,6250, f 0,7 0,5882, f 0,8 0,5556, f 0,9 0,5263, f 1 0,5000. По формуле трапеций получаем Оценимпогрешность полученного результата.
Так как f x 1 1 x , то Наотрезке 0, 1 имеем . Поэтому погрешностьполученного результата не превосходит величиныВычислим точное значение данного интеграла по формулеНьютона-Лейбница Абсолютная ошибка результата, полученного по формулетрапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкойпогрешности.Идею, которая была использована при построении формулытрапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул длявычисления определенного интеграла.2. Лемма 1. Черезлюбые три точки М1 х1 у1 , М2 х2 у2 , М3 х3 у3 с различными абсциссами можнопровести единственную кривую видау Ах2 Вх С 1 Доказательство. Подставляя в уравнение параболы 1 координаты точек М1 ,М2 , М3 ,получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С Так как числа х1, х2, х3различны, то определитель этой системы отличен от нуля Следовательно, данная система имеет единственноерешение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. gОтметим, что если А sup1 0, то кривая 1 является параболой, если А 0, топрямой.Лемма 2. Площадьsкриволинейной трапеции,ограниченной кривой у Ах2 Вх С, проходящей через точки М1 -h y1 , M2 0, y2 ,M3 h, y3 рис.2 выражается формулой 2 Доказательство. Подставляя в уравнение у Ах2 Вх С координаты точек М1,М2, М3, получаем у1 Аh2-Вh С у2 С у3 Аh2 Вh С, откудаследует, что2Аh2 2С у1 у3 С у3 Учитывая соотношение 3 , имеемРассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченнуюпроизвольной кривой y f x . Разобьем отрезок a, b на 2p равных отрезков точками a x0 lt x1 lt x2 lt lt x2k lt x2k 1 lt x2k 2 lt lt x2n-1 lt x2n b, а кривую y f x спомощью прямых x xk на2n соответствующих частей точками М0 , М1, М2 , М2k , М2k 1 , М2k 2, М2n-2 , М2n-1 , М2n рис.3 .Через каждую тройку точек М0М1 М2 , М2k М2k 1 М2k 2, М2n-2 М2n-1 М2n проведем кривую вида у Ах2 Вх С см. лемму1.1 . В результате получим n криволинейныхтрапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми эти трапеции заштрихованына рис. 3 . Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующейотрезку x2k,x2k 2 , приближенно равнаплощади соответствующей параболической трапеции, то по формуле 2 имеем в данномслучае h b-a 2n где yk f xk , k 0, 1, 2, 2n. Складываяпочленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулуили в развернутом видеЭта формула называется формулой парабол илиформулой Симпсона.В формуле параболы значение функции f x в нечетных точках разбиения х1, х3 х2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4 х2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0 а,х1, х2n b - коэффициент 1.Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден площадь криволинейной трапеции под графиком функции f x на отрезке a, b приближеннозаменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами прямыми .В полных курсах высшей математики доказывается, чтоесли функция f x имеет на a, b непрерывную производную четвертого порядка, тоабсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем где М - наибольшее значение на отрезке a, b . Выше отмечалось, что погрешность формулы трапецийоценивается числом Так как n4 растетбыстрее, чем n2, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешностьформулы трапеций.
Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получитьбольшую точность, чем формула трапеций.Для сравнения точности приближенных формул вычислим ещераз интеграл , но теперь по формулеСимпсона при n 4. Разобьем отрезок 0, 1 начетыре равные части точками х0 0, х1 1 4, х2 1 2,х3 3 4, х4 1 и вычислим приближенно значения функции f x 1 1 x в этих точках у0 1,0000, у1 0,8000,у2 0,6667, у3 0,5714, у4 0,5000.По формуле Симпсона получаем Оценим погрешность полученного результата.
Дляподынтегральной функции f x 1 1 x имеем f 4 x 24 1 x 5, откуда следует, что на отрезке 0, 1 . Следовательно, можновзять М 24, и погрешность результата не превосходит величины 24 2880 44 ,0б0004. Сравнивая приближенное значениес точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формулеСимпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкойпогрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительноточнее формулы трапеций.
Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисленияопределенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.Как отмечалось выше, приближенные формулы длявычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразнаяподынтегральной функции не выражается через элементарные функции.Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.Чтобы выбрать необходимое для получения заданнойточности число 2n, найдем f 4 x . Последовательно дифференцируя функцию f x , получаемf 4 x 4 4х4-12х2 3 Так как на отрезке 0, 1 1, frac12 4х4-12х2 3 frac12 5, то . Следовательно, можновзять М 20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20 2880n4 lt 1 1000,откуда n4 gt 1000 144.Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n 2, т.е. 2n 4.Разобьем теперь отрезок 0, 1 на четыреравные части точками х0 0, х1 1 4, х2 1 2, х3 3 4,х4 1 и вычислим приближенно значения функции f x в этихточках у0 1,0000, у1 0,9394, у2 0,7788, у3 0,5698,у4 0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаемТаким образом, с точностью до 0,001.Итак, разбив отрезок 0, 1 всегона четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей вправой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.В заключении отметим, что каждый из изложенных методовприближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, чтопозволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом,указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов,которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейшихприближенных методов можно составить таблицы их значений.