Применение графиков в решении уравнений

Применение графиковв решении уравнений Основнаячасть Применение графиков в решении уравнений. I Графическое решениеквадратного уравнения Рассмотримпривед нное квадратное уравнение x2 px q 0 Перепишем его так x2 -px-q. 1 Построим графики зависимостей y x2 и y -px-q.График первой зависимости нам известен, это естьпарабола вторая зависимость- линейная е график есть прямая линия.Изуравнения 1 видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоихграфиков равны между собой.

Значит, данному значению х соответствует одна и таже точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямаяпересекаются в точке с абциссой х.Отсюда следующийграфический способ решения квадратного уравнения чертим параболу у х2,чертим по точкам прямую у -рх-q.Если прямая ипарабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнямиквадратного уравнения.Этот способ удобен, если не требуется большой точности.Примеры 1.Решитьуравнение 4x2-12x 0Представим его в виде x2 3x-4.Построим параболу y x2 и прямую y 3x-4.Рисунок 1. Для построения прямой можно взять, например,точки 0 -7 4 и 2 17 4 .Парабола и прямая пересекаются в двух точках сабциссами x1 0.8 и x2 2.2 см. рисунок 1 . 2.Решить уравнение x2-x 0.Запишем уравнение в виде x2 x-1.Построив параболу у х2 и прямую у х-1,увидим, что они не пересекаются рисунок 2 , значит уравнение не имеет корней.Рисунок 2. Проверим это. Вычислим дискриминант D -1 2-4 -3 lt 0,А поэтому уравнение не имеет корней.3. Решить уравнение x2-2x 0Рисунок 3.Если аккуратно начертить параболу у х2 ипрямую у 2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку прямая касаетсяпараболы, см. рисунок 3 , х 1, у 1 уравнение имеет один корень х 1 обязательнопроверить это вычислением . II Системы уравнений.Графикомуравнения с двумя переменными называется множество точек координатнойплоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Графики уравнений с двумяпеременными весьма разнообразны.

Например, графиком уравнения 2х 3у 15 являетсяпрямая, уравнения у 0.5х2 2 парабола, уравнения х2 у2 4 окружность, и т.д Степеньцелого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целогоуравнения с одной переменной.

Если левая часть уравнения с двумя переменнымипредставляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степеньуравнения считают равной степени многочлена.

Для того чтобы выяснить, каковастепень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильнымуравнением, левая часть которого многочлен стандартного вида, а правая- нуль.Рассмотрим графический способ решения.Пример1 решить систему 8992 x2 y2 25 1 8992 y -x2 2x 5 2 Построимв одной системе координат графики уравнений Рисунок4 Построимв одной системе координат графи х2 у2 25 и у -х2 2х 5 Координаты любой точки построенной окружности являютсярешением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решениемуравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности ипараболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е.являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находимприближ нные значения координат точек пересечения графиков А -2,2 -4,5 , В 0 5 , С 2,2 4,5 , D 4 -3 .Следовательно, система уравнений имеет четыре решения х1 8776 -2,2, у1 8776 -4,5 х2 8776 0, у2 8776 5 х3 8776 2,2, у3 8776 4,5 х4 8776 4, у4 8776 -3.Подставивнайденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четв ртоеиз этих решений являются точными, а первое и третье приближ нными.

III Тригонометрические уравнения Тригонометрическиеуравнения решают как аналитически, так и графически.

Рассмотрим графический способрешения на примере.Рисунок5.Пример1 sinx cosx 1. Построим графики функций y sinx u y 1-cosx. рисунок 5 Из графика видно, чтоуравнение имеет 2 решения х 2 960 п,где п Z и х 960 2 2 960 k,где k Z Обязательно проверить этовычислениями . Рисунок 6.Пример2 Решитьуравнение tg2x tgx 0. Решать это уравнение будем попринципу решения предыдущего. Сначала построим графики См. рисунок 6 функций y tg2x u y -tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения х 960 п, п Z u x 2 960 k 3, гдеk Z. Проверить это вычислениями Применение графиков врешении неравенств. 1 Неравенства с модулем. Пример1.Решить неравенство x-1 x 1 lt 4.На интеграле -1 - 8734 по определению модуля имеем х-1 -х 1, х 1 -х-1, и,следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству 2х lt 4,которое справедливо при х gt -2. Таким образом, в множество решений входитинтеграл -2 -1 .На отрезке -1,1 исходное неравенство равносильно верномучисловому неравенству 2 lt 4.Поэтому все значения переменной, принадлежащиеэтому отрезку, входят в множество решний.На интеграле 1 8734 опять получаем линейное неравенство2х lt 4, справедливое при х lt 2. Поэтому интеграл 1 2 также входит в множестворешений.

Объединяя полученные результаты, делаем вывод неравенствуудовлетворяют все значения переменной из интеграла -2 2 и только они.Однако тот же самый результат можно получить изнаглядных и в то же время строгих геометрических соображений.

На рисунке 7построены графики функций y f x x-1 x 1 и y 4.Рисунок 7.На интеграле -2 2 график функции y f x расположен под графиком функции у 4, а это означает,что неравенство f x lt 4 справедливо.

Ответ -II Решение неравенств с одним или несколькими параметрамипредставляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, вкоторой параметры отсутствуют.Например, неравенство 8730 а х 8730 а-х gt 4, содержащее параметр а, естественно, требует, длясвоего решения гораздо больше усилий, чемнеравенство 8730 1 х 8730 1-х gt 1.Что значит решить первое из этих неравенств? Это, посуществу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множествонеравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовыезначения.

Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого,так как получается из него при значении а 1.Таким образом, решить неравенство, содержащеепараметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенствоимеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1 Решить неравенство х-а х а lt b, a lt gt 0.Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями.

Нарисунке 8 и 9 построены графики функций.Y f x x-a x a u y b.Очевидно, что при b lt 2 a прямая y b проходит невыше горизонтального отрезка кривой y x-a x a и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений рисунок8 . Если же b gt 2 a , то прямая y b пересекает график функции y f x в двух точках -b 2 b u b 2 b рисунок 6 и неравенство в этом случае справедливо при b 2 lt x lt b 2,так как при этихзначениях переменной кривая y x a x-a расположена под прямой y b. Ответ Если b lt 2 a , торешений нет, Если b gt 2 a , то x 710 -b 2 b 2 . III Тригонометрическиенеравенства При решении неравенств с тригонометрическими функциямисущественно используется периодичность этих функций и их монотонность насоответствующих промежутках.

Простейшие тригонометрические неравенства.

Функцияsin x имеет положительный период 2 960 . Поэтомунеравенства вида sin x gt a, sin x gt a, sin x lt a, sinx lt a. Достаточно решитьсначала на каком-либо отрезке лдины 2 960 . Множество всех решений получим,прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2 960 п, п Z. Пример 1 Решить неравенствоsin x gt -1 2. рисунок 10 Сначала решим это неравенство наотрезке - 960 2 3 960 2 . Рассмотрим его левую часть отрезок - 960 2 3 960 2 .Здесь уравнение sin x -1 2имеет одно решение х - 960 6 а функция sin x монотонно возрастает.

Значит, если 960 2 lt x lt - 960 6, то sin x lt sin - 960 6 -1 2, т.е. эти значения х решениями неравенства неявляются.Если же 960 6 lt х lt 960 2 то sin x gt sin - 960 6 1 2.Все эти значения х не являются решениями неравенства.На оставшемся отрезке 960 2 3 960 2 функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x -1 2 имеет одно решение х 7 960 6. Следовательно,если 960 2 lt x lt 7 960 , то sin x gt sin 7 960 6 -1 2, т.е. все эти значения х являются решенияминеравенства.

Для x 7 960 6 3 960 2 имеем sin x lt sin 7 960 6 -1 2, эти значения х решениями не являются . Таким образом,множество всех решений данного неравенства на отрезке - 960 2 3 960 2 есть интеграл - 960 6 7 960 6 .В силу периодичности функции sin x с периодом 2 960 значения х из любого интеграла вида - 960 6 2 960 n 7 960 6 2 960 n ,n Z, также являются решениями неравенства.

Никакие другиезначения х решениями этого неравенства не являются . Ответ - 960 6 2 960 n lt x lt 7 960 6 2 960 n, где n Z.Рисунок 10.