Отображение геометрических структур ABSTRACT Mapping geometrical arrangements of a fiber space of differential equations, bound mapping of Hopf-Colle is under construction. Устанавливается изоморфизм отображений Хопфа-Коула Hopf E, Cole J. D. 1, 2 3 и отображений геометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями.Имеется проблема.
В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать физическую информацию в основном о системах космических и галактических масштабов релятивистская теория гравитации ОТО и новая релятивистская теория гравитации РТГ , в которых определяется метрический тензор риманового пространства . Но геометрия - раздел математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики.Примером может служить интегральное исчисление, которое широко используется во всех разделах физики.
С помощью метрического тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные переносы, определяют ковариантные производные и связности Итак, посредством определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы, например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике, определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности.Каков физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ - это гравитационные потенциалы! В материальном мире реализуются многомерные пространства.
С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно, а геометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов физики. Геометрические действия с соответствующей метрикой возможно только в рамках соответствующей связи.При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений.
Введение тензоров скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга производится только относительно соответствующих преобразований обобщенных координат. В физике вводятся многомерные пространства внутренних степеней свободы.Примером пространства внутренних степеней свободы в физике может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе преобразований координат изотопического пространства.
В пространстве внутренних степеней свободы вводятся обобщенные базовые и слоевые координаты. В качестве демонстрации данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача. Отображение Хопфа-Коула связывает два дифференциальных уравнения и их решения 1, 2, 3 нелинейное уравнение Бюргерса 4 и уравнение теплопроводности диффузии . Эти уравнения отображают соответствующие связи.Этих уравнений мы рассматриваем частные случаи демонстрируется сам принцип и обобщаем их на слоевые пространства.
Нелинейное уравнение 3 см. Табл. получено из уравнения типа уравнения Бюргерса в классе решений т.е. 1 с использованием отображения 5 Отображение геометрических структур Таблица Дифференциальное уравнение типа уравнения теплопроводности 3 -постоянные длина вектора в пространстве - постоянная интегрирования. 5 Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула 2 - постоянные. слоевые пространства слоевые координаты метрические функции решение дифференциальных уравнений дифференциальные уравнения для метрической функции решения дифференциальных уравнений для метрических функций отображение Хопфа-Коула для метрических функций 7 ковариантные слоевые координаты составляющие метрического тензора - однородные степени нуль в слоевых координатах. коэффициенты связностей - однородные степени - 1 в слоевых координатах . длина векторов условие Эйлера выполнение свойства 14 дважды ковариантные составляющие метрического тензора Уравнение, следующее из нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса 4 - постоянные - длина вектора в пространстве где - постоянная интегрирования и 6 9 11 13 6 Из Таблицы следует, что структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей сохраняется.
Изменяется их конкретное содержание.
Отображения Хопфа-Коула меняют длину слоевых координат . Поскольку выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство 14 ,то коэффициенты связностей найдены правильно.
Итак, 1 если связь задана дифференциальным уравнением вида 3 , тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором 10 и метрикой 5 , 2 если же связь задана нелинейным дифференциальным уравнением вида 4 , тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором 11 и метрикой 6 , которые могут быть получены отображением Хопфа-Коула 2 . ЛИТЕРАТУРА 1.Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics Quart App. Vath 1951, 9, pp. 225-2.Hopf T. The partial differential equation Comm. Pure Appl.Math 1950, pp 201-3.Абловиц М Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.
Перевод с англ. -М. Мир, 1987, 180 с. 4.Burgers J. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence Adv. Appl. Mech, 1948, 1, pp. 171-199. 5.Севрюк В.П. Геометрии расслоенных пространств теории обобщенных криволинейных координат.
ВИНИТИ , N 3378-B90 Деп 145 с.