Нелинейные САУ

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Курсовая работа по курсу Нелинейные САУ на тему Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления. Выполнил ст-т гр. АК4-81 Смык В.Л. Реутов 1997 г. Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.

Термин устойчивость настолько выразителен, что он сам за себя говорит отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец 1. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой.

Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны.Металлический шар устойчив, шар из дыма нет. Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость.

Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми.Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов 2. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат.

Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости.Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.

Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система . xAxb, c x, 1 где и - в общем случае векторы и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы, а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого , система 1, дополненая соотношением , асимптотически усойчива.Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы 1 в классе М нелинейностей ,t, удовлетворяющих условию t 2 достаточно, чтобы при всех выполнялось соотношение Re1 Wj 3 Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F Действительно, как было показано выше, форма Fj имеет вид FjRe1 Wj Wj Из этой формулы после сокращения на следует 3. В 3 Случай, когда либо , либо рассматривается аналогично. Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком.

Он получается из 3, если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части Wj. Обозначая комплексную переменную Wjz, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий Re1 z z 0, если 4 Re1 zz 0, если 5 Rez1 z 0, если 6 Пусть С - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В области определяемая уравнениями получаемыми из 4-6 заменой знаков неравенств равенствами.

Для 4 получаем окружность, проходящую через точки -1 , -1 с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если 0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор захватывает два смежных квадранта.

Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если 0 или 0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1 или -1 . На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов в плоскости . Там же изображены кривые Wj, 0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость.

Однако только приемлимого расположения хаоактеристик Wj еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход и выход которого удовлетворяют для всех t неравенству 7 Рисунок 1, а. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2. А Х У P Z - Gp g Рисунок 2. Здесь W p - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид W p 8 Wp Алгоритм регулятора имеет вид y x, при gx 0 9 - при gx 0, g В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид 10 k при g 0 где - k при g 0, g . Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при W p в уравнениях 10 имеем 11 а при Wp имеем 12 Причем для обоих случаев 11 и 12 имеет место соотношение 13 В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и Gp или в виде формы Коши 10. Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3. xc g y z - x Gp Wp Рисунок 3. Это означает, что аналитической записи 10 соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему 10 как релейную систему с изменяемым ограничение, когда x - var. Далее перейдем к анализу нашего метода.

Согласно частотной теоремы 10, для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех , изменяющихся от до , выполнялось соотношение Re1 Wj 0, а гадограф Wj1 при соответствовал критерию Найквиста.

Для исследуемой системы условие 3 удобнее записать в виде 4 и 5. На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М и годографы Wj, расположенные таким образом, что согласно 4 и 5 возможна абсолютная устойчивость. y y g x y g при 0 0 а б в г Рисунок 4. В рассматриваемом случае 10 при W p , когда Wp W pGp, Gp p1, годограф Wj системы на рис. 5. j Wj 0 Рисунок 5. В случае 10 справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия 3 или 5 при 14 Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову а 0 , t 0 и a c для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия 14, если выполняется требование t 0 15 поскольку, согласно 11 и 13 a . Докажем это, используя условия существования скользящего режима - kt k т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через тогда получим - t 16 Согласно рис. 5 и условия 16 получаем 1 при , t0 2 при , t 0 3 при , t 0, что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6. xc g z - x Gp p Рисунок 6. В данном случае считаем что - варьируемая величина, 0.5, 0.1 анализ поведения системы при изменении данного параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение, 0.1,1 коэффициент обратной связи, 10,100. Рассмотрим теперь саму функцию WpGpW p, где Gp - функция корректора, W p pW p, где p , а W p в свою очередь будет W p , где , соответственно вся функция имеет вид Wp Теперь заменяем p на j и имеем вид Для построения гадогрофа выведем формулы для P, jQ которые имеют вид P jQ Графики можно посмотреть в приложении N 2. Учитывая , что добротность должна быть 0.50.7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения и , уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться.

Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2. Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать , что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать минемальные значения , это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.

Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении . Приложение N 1. Программа для построения годографов на языке программирования СИ . include graphics.h include iostream.h include conio.h include dos.h include stdlib.h include stdio.h include math.h include string.h void Godograffloat Tpr, float Ko, float Kos, int Color, int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err void Osiint Xc, int Yc, int kol int xmax, ymax float Kos0.1,1.0, Ko 10.0,100.0, Tpr0.01,0.09,0.2,0.5 void mainvoid float Pw, Qw, w int driver, mode, err driver DETECT initgraphdriver,mode, err graphresult if errgrOk cout nt grapherrormsgerr getch else xmax getmaxx ymax getmaxy int Xcintxmax2, Ycintymax2 forint i0i 1i forint j0j 1j forint k0k 3k cleardevice setviewport0,0,xmax,ymax,0 Osiintxmax2,intymax2,ijk GodografTprk,Koj,Kosi,15,intxmax2,intyma x2,k,j,i,1 setcolor7 setlinestyle1,0,1 rectangleXc-18,Yc-15,Xc18,Yc15 setlinestyle0,0,1 rectangle10,Yc5,250,Yc205 setcolor15 setviewport10,intymax25,250,intymax2205, 1 setfillstyle1,0 floodfill5,5,7 line10,100,230,100 line125,10,125,190 GodografTprk,Koj,Kosi,15,125,100,k,j,i,0 closegraph void Godograffloat Tpr, float Ko, float Kos, int Color, int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err float Pw10.0, Qw10.0, Pw, Qw, To0.5, Tg0.1, Pwmin0.0 forfloat w0w 100ww0.05 ifKosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww0 Pw KowTgwTprKosKow-ToTprwww KosKoKo-ToTprKoww KosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow- ToTprwww Qw TgKosKoKow-ToTprKoww- KowTprKosKoKow-KoToTprwww KosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww if absPw absPw1 Pw1Pw if absQw absQw1 Qw1Qw if Pw Pwmin Pwmin Pw if Pw10 Pw1Pw10.01 if Qw10 Qw1Qw10.01 float KmasX floatxmax-Xc-100Pw1, KmasY floatymax-Yc-100Qw1 if KmasX 0 KmasX-KmasX if KmasY 0 KmasY-KmasY if KmasX 220 KmasX150 if KmasY 140 KmasY100 if err0 KmasXKmasX4 KmasYKmasY4 w 0 ifKosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww0 Pw KmasXKowTgwTprKosKow-ToTprwww KosKoKo-ToTprKoww KosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow- ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww Qw KmasYTgKosKoKow-ToTprKoww- KowTprKosKoKow-KoToTprwww KosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww movetoXcPw,Yc-Qw setcolorColor setcolor9 lineXcPwminKmasX,10,XcPwminKmasX,ymax-10 gotoxy2,5 printfK2 printff 1Pwmin setcolor15 forw0w 700ww0.05 ifKosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow- ToTprwww0 Pw KmasXKowTgwTprKosKow-ToTprwww KosKoKo-ToTprKoww KosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww Qw KmasYTgKosKoKow-ToTprKoww- KowTprKosKoKow-KoToTprwww KosKo-ToTprwwKosKo-ToTprww wTprKosKow-ToTprwwwwTprKosKow-ToTprwww linetoXcPw,Yc-Qw setcolor13 circleXc-KmasX, Yc,2 circleXc-KmasX,Yc,1 putpixelXc-KmasX,Yc,13 outtextxyXc-KmasX-7,Yc-12 1 setcolor15 if err1 if x0 outtextxy10,10,Tpr 0.01 if x1 outtextxy10,10,Tpr 0.09 if x2 outtextxy10,10,Tpr 0.2 if x3 outtextxy10,10,Tpr 0.5 if y0 outtextxy10,30,Ko 10 if y1 outtextxy10,30,Ko 100 if z0 outtextxy10,50,Koc 0.1 if z1 outtextxy10,50,Koc 1.0 else char ch whilech27ch13 if kbhit0 chgetch void Osiint Xc, int Yc, int kol setcolor15 rectangle0,0,xmax,ymax lineXc,10,Xc,ymax-10 line10,Yc,xmax-10,Yc lineintxmax2-3,15,intxmax2,10 lineintxmax2,10,intxmax23,15 linexmax-15,intymax2-3,xmax-10,intymax2 linexmax-15,intymax23,xmax-10,intymax2 settextstyle2,0,5 outtextxyintxmax27,10,jQw outtextxyxmax-35,intymax27,Pw settextstyle2,0,4 outtextxyintxmax2-8,intymax21,0 settextstyle0,0,0 if kol5 outtextxy5,ymax-15,Esc - exit else outtextxy5,ymax-15,Enter - next setcolor15 Приложение N 2. Рисунок N 1.1 Рисунок N 1.2 Рисунок 1.3 Рисунок 1.4 Рисунок 1.5 Рисунок 1.6 Рисунок 1.7 Рисунок 1.8 Рисунок 1.9 Рисунок 1.10 Рисунок 1.11 Рисунок 1.12 Рисунок 1.13 Рисунок 1.14 Вставка 1.15 Рисунок 1.16 Литература 1. Емильянов С.В Системы автоматического управления с переменной структурой М. Наука, 1967. 2. Воронов А.А Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва Наука, 1979. 3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС Научн исслед. работа. 4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ Курс лекций Записал В.Л.Смык 1997. Список постраничных ссылок 1. Ла Салль Ж Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова М. Мир, 1964 168 с. 2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения Собр. соч М. Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.