Математика. Интегралы

1.Говорят, что функция f x не убывает не возрастает на a,b , если длялюбых точек x1 lt x2 из a,b справедливо неравенство f x1 f x2 f x1 sup3 f x2 . 2.Говорят, что функция f x возрастает убывает на a,b , если x1 lt x2 из a,b справедливонеравенство f x1 lt f x2 f x1 gt f x2 . В этом случае функцию называют монотонной на a,b .Т1.Дифференцируемая на a,b функция f x тогда и только тогда не убывает не возрастает на a,b , когда f x sup3 0 0 при любом x a,b . Док-во 1 Достаточность. Пусть f x sup3 0 0 всюду на a,b . Рассмотрим любые x1 lt x2 из a,b . Функция f x дифференцируема и непрерывна на x1,x2 . По теореме Лагранжа f x2 -f x1 x2-x1 f a , x1 lt a lt x2. Т.к. x2-x1 gt 0, f a sup3 0 0 , f x2 -f x1 sup3 0 0 , значит, f x не убывает не возрастает на a,b . 2 Необходимость. Пусть, например, f x не убывает на a,b , x a,b , x Dx a,b , Dx gt 0. Тогда f x Dx -f x Dx sup0. Переходя к приделу при Dx 0, получим f x sup0. Теорема доказана.Т2.Для возрастания убывания f x на a,b достаточно, чтобы f x gt 0 lt 0 при любом x a,b . Док-во Тоже что и в Т2.Замечание1.Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f x возрастает убывает на a,b , то не всегда f x gt 0 lt 0 при любом x a,b . 3.Прямая х а называется вертикальной асимптотой графика функций y f x , если хотя бы одно из предельных значений или равно yen или yen .Замечание2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют. 4.Прямая y kx b называется наклонной асимптотой графика функции y f x при x yen yen , если f x kx b a x , гдеТ3.Прямая y kx b называется наклонной асимптотой графика функции y f x при x yen yen , тогда и только тогда, когда существуют причем при x yen yen наклонная асимптота называется правой левой .Док-во Предположим, что кривая y f x имеетнаклонную асимптоту y kx b при x yen , т.е. имеет место равенство f x kx b a x . Тогда . Переходя к пределу при x yen , получаем . Далее из f x kx b a x b f x -kx-a x . Переходя к пределу при x yen , получаем . Докажем обратное утверждение.

Пусть пределы, указанные втеореме, существуют и конечны. Следовательно, f x kx b a x , где a x 0, при x yen yen . Отсюда и получаем представление f x kx b a x . Теоремадоказана.Замечание3.При k 0 прямая y b называется горизонтальной асимптотой, причем при x yen yen правой левой .1. Точку х0 назовем стандартной дляфункции f x , если f x дифференцируемав точке x0 и f x2. Необходимое условие экстремума. Если функция y f x имеет в точке x0локальный экстремум, то либо x0 стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x0. Замечание 1. Необходимое условие экстремума неявляется достаточным. Т1. Первое достаточное условие экстремума . Пусть y f x дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме,быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной.

Если припереходе x через x0 слеванаправо f x меняет знак с на , то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с на точка x0 являетсяточкой минимума.

Док-во Пусть x a,b , x sup1 x0, a,b достаточномалая окрестность точки x0. Покажем что f x0 gt f x . По теоремеЛагранжа применительно к отрезку x,x0 или x0,x f x f x0 x- x0 f a , где a лежит между x0 или x а x lt x0 x- x0 lt 0, f a gt 0 f x f x0 lt 0 f x0 gt f x б x gt x0 x x0 gt 0, f a lt 0 f x f x0 lt 0 f x0 gt f x . Замечание 2. Если f x не меняет знака при переходе через точку х0,то х0 не является точкой экстремума.Т2. Второе достаточное условие экстремума . Пусть x0 стационарная точка функции y f x , котораяимеет в точке x0 вторую производную.

Тогда 1 f x0 gt 0 f имеет в точке x0локальный минимум. 2 f x0 lt 0 f имеет в точке x0локальный максимум.3. 1. График функции y f x называется выпуклым вниз или вогнутым вверх впромежутке a,b , если соответствующая дуга кривой расположена вышекасательной в любой точке этой дуги. 2. График функции y f x называется выпуклым вверх или вогнутым вниз впромежутке a,b , если соответствующая дуга кривой расположена нижекасательной в любой точке этой дуги. Т1. Пусть y f x имеет на a,b конечную 2-юпроизводную. Тогда 1 f x gt 0, x a,b график f x имеет на a,b выпуклость, направленную вниз 2 f x lt 0, x a,b график f x имеет на a,b выпуклость, направленную вверх 3. Точка c,f с графика функций f x называетсяточкой перегиба, если на a,c и c,b кривая y f x имеет разныенаправления выпуклости a,b достаточно малая окрестность точки c . Т2. Необходимое условие перегиба . Если кривая y f x имеет перегиб в точке c, f c и функция y f x имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f c 0. Замечание1. Необходимое условие перегиба не являетсядостаточным. Замечание2. В точке перегиба вторая производная можетне существовать. Т3. Первое достаточное условие перегиба . Пусть y f x имеет вторую производную на c a,b , f c 0. Если f x имеет на a,c , c,b разные знаки,то c, f c точка перегиба графика f x . Т4. Второе условие перегиба . Если y f x имеет в точке конечную третью производную и f c 0, а f c sup1 0, тогда c, f c точкаперегиба графика f x .1.Первообразная от функции f x в данном интервале называется функция F x , производнаякоторой равна данной функции F x f x . T1. Всякаянепрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любыедве из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во F x и Ф х двепервообразные от f x , тождественно не равные между собой.

Имеем F x f x , Ф х f x . Вычитая одно равенство из другого, получим F x Ф х 0. Но если производная от некоторой функции в нашемслучае от F x Ф х тождественно равна нулю, то сама функция естьпостоянная F x Ф х С. 2. Неопределенным интегралом от данной функции f x называетсямножество всех его первообразных ,где F x f x .5. Свойстванеопределенного интеграла Производная НИ подынтегральной функции дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению . Док-во НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого . Док-во Обозначим . На основании первого св-ва , откуда , т.е НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций , где u, v, ,w-функции независимой переменной х. Док-во Постоянный множитель можно выносить за знак НИ , где с константа.

Док-во .Т2. об инвариантности формул интегрирования Пусть f x dx F x C какая-либоизвестная формула интегрирования и u ф х любая функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда f u du F u C. Док-во Изтого, что f x dx F x C, следует F x f x . Возьмемфункцию F u F ф x для е дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциалафункции, имеем dF u F u du f u du. Отсюда f u du dF u f u C.6. Метод замены переменных.1 Подведение под знакдифференциала.

Т1. Пусть функция y f x определена идифференцируема, пусть также существует f x f j t тогда если функция f x имеетпервообразную то справедлива формула формула замены переменных. Док-во пусть F x для функции f x , т.е. F x f x . Найдемпервообразную для f j t , F j t t F x j t j t F x j t f x j t . f x j t dt f j t C. F j t C F x C x j t f x dx x j t . Замечание1. При интегрировании иногда целесообразноподбирать подстановку не в виде x j t , а в виде t j x .2 Подведение под знакдифференциала.

F x dx g j x j x dx g u du. f x dx g j x j x dx g u du. dx d x b , где b const dx 1 ad ax , a sup1 0 dx 1 ad ax b , a sup1 0 ф х dx dф x xdx 1 2 d x2 b sinxdx d -cosx cosxdx d sinx Интегрированиепо частям udv uv- vdu. До-во Пусть u x и v x функции отх с непрерывными производными.

D uv udv vdu, udv d uv -vdu интегрируем udv d uv - vdu или udv uv- vdu.7.Интегрированиепо частям udv uv- vdu. До-во Пусть u x и v x функции отх с непрерывными производными. D uv udv vdu, udv d uv -vdu интегрируем udv d uv - vdu или udv uv- vdu. Интегрирование функций, содержащих квадратныйтрехчлен Первый интеграл табличноговида du uk Второй интеграл сводится кнахождению интеграла где u x p 2, a , q-p2 4 gt 0 рекуррентнаяформула.Интегрирование рациональныхфункций R x P x Q x , R x -рациональная функция, P x и Q x -многочлены.

Дробь P x Q x можноразложить в сумму простейших дробей, где Ai, Bi, Ci постоянные, а именно каждому множителю x-a k в представлении знаменателя Q x соответствуетв разложении дроби P x Q x на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю x2 px q t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q x на множителиимеет место разложение дроби P x Q x на слагаемые.Правила интегрированиярациональных дробей Если рац. дробь неправильная, то е представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.

Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.Правую рац. дробь разлагаютна сумму простейших дробей.

Этим самым интегрирование правильной рац. дробисводят к интегрированию простейших дробей.8.Интегрированиетригонометрически х функций I. 1 Интеграл вида 2 R sinx, cosx нечетнаяфункция относительно sinx, то cosx t.3 R sinx, cosx нечетнаяфункция относительно cosx, то sinx t.4 R sinx, cosx нечетнаяфункция относительно sinx и cosx, то tgx t. II. 1 2 Оба показателя степениm и n четныеположительные числа sinxcosx 1 2 sin2x sin2x 1 2 1-cos2x cos2x 1 2 1 cos2x .III. tgmxdx и ctgmxdx, где m-целоеположительное число. tg2x sec2x-1 или ctg2x cosec2x 1.IV. tgmxsecnxdx и ctgmxcosecnxdx, где n четноеположительное число. sec2x 1 tg2x или cosec2x 1 ctg2x.V. sinmx cosnxdx, cosmx cosnxdx, sinmx sinnxdx sinacosb 1 2 sin a b sin a-b cosacosb 1 2 cos a b cos a-b sinasinb 1 2 cos a-b -cos a b 9. Интегрирование иррациональных функций I. 1 R x dx, k-общий знаменатель дробей m n, r s . x tk,dx ktk 1dt2 R x dx x , dx II. 1 Вынести 1 a или 1 -a. И выделимполные квадраты.2 3 Разбить на дваинтеграла.4 III. 1 2 3 1 p-целое число x tS, где s- наименьшееобщее кратное знаменателей у дробей m и n. 2 m 1 n целое число a bxn tS 3 p m 1 n-целое число a-n b tS игде s- знаменатель дроби p.10.Определенный интеграл 1 интервал a,b , в которомзадана функция f x , разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a x0 lt x1 lt lt xn 1 lt xn b 2 Значение функции f xI в какой нибудь точке xi xi xi 1 умножается на длину этого интервала xi xi 1, т. е. составляется произведение f xi xi xi 1 3 , где xi xi 1 Dxi I этот предел если он существует называется определенныминтегралом, или интегралом от функции f x на интервале a,b , обозначается 1. Определенным интеграломназывается предел интегральной суммы при стремлении к нулюдлинны наибольшего частичного интеграла в предположении, что пределсуществует . Т1. Необходимое условиесуществования интеграла Если ОИ существует, т.е. функция f x интегрируемане a,b , то f x ограничена наэтом отрезке.

Но этого не достаточно.

Док-во Функция Дирихле.