Московский ГосударственныйТехнический Университетимени Н.Э. Баумана. Курсовая работа По предмету Дифференциальные уравнения. Тема Математическая модельвсплытия подводной лодки Выполнила студентка группы ФН 2-31, Иванова А. Научный руководитель профессор В.И. Ванько. Москва 2001 г.Введение.Под словамиматематическая модель всплытия подводной лодки подразумевается описаниефизического процесса, происходящего при е всплытии с некоторойглубины.Естественно, математическая модель существенно отличается от реальнопроисходящего процесса, так как при построении модели берется приближение, прикотором пренебрегают некоторыми силами и факторами среды.
В данном случае, вместо лодки, идущей накакой-то глубине, рассматривается материальная точка с переменной массой, первоначально движущаясягоризонтально.Мы будем пренебрегать гидродинамикой этого процесса рассматриваятолько три основных силы действующих на эту точку.Рассматривая, такимобразом, действия сил на объект, используя основные законы механики исоотношения между силами мы можем составить дифференциальное уравнение илисистему дифференциальных уравнений, решая которую, можно получить е частноеили общее решение в зависимости от вида системы .Получив решение, мыможем ответить и на другие вопросы, касающиеся всплытия лодки, такие, какнахождение значений параметров при которых время всплытия лодки будетминимальным, и ряд других.
На идеемоделирования, по существу, базируется любой метод исследования кактеоретический при котором используются абстрактные модели , так иэкспериментальный использующий предметные модели . Построение математическоймодели процесса позволяет понять его суть и его физический смысл.
Рассмотрим подводную лодку какматериальную точку, которая движется погоризонтали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью.Лодкаудифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, какпоказано на рис.1, сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда равны помодулю.По горизонтали, на лодку действует сила сопротивления,модуль которой примем в виде Где степень и коффициент пропорциональности это некоторые числа, характерные для данной среды, изависящие от факторов среды, таких как плотность Рис. 1 воды, е температура, и величины скорости.Сила Архимеда, действущая на лодку, зависит отразмеров лодки, а именно от е объема, и плотности воды. В этой формуле этоплотность жидкости, объем тела, погруженного вжидкость, 9.81 м c2 ускорение свободного падения.Пусть в некоторый момент времени выключены двигателии сбрасывается балласт.
Двигаясь по инерции, а также под действием силыАрхимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории рис.2 . Проведем радиус вектор из начала координат Вектор скорости также можно разложить насоставляющие по осям x и y Рис. 2 Тогда силу сопротивления мы можем записать так ,так как вектор скорости всегда направлен покасательной к траектории движения, асила сопротивления имеет противоположное направление.
По второму закону Ньютона ,где вектор - это вектор силы тяжести, действующей на лодку некоторая функциязависящая от времени.
Запишем это векторное уравнение впроекциях на оси. В проекции на ось В проекции на ось В результате получим систему дифференциальныхуравнений ,где масса - функция зависящая отвремени. Решая эту систему для произвольного значения , и заданных начальныхусловий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.Пусть масса лодки изменяется по линейному закону , где - масса корпуса, - это скорость вытеснения воды из цистерн, которуюбудем считать постоянной, а - некоторый момент времени, в который вся вода изцистерн вытеснена.
Как показано на рис.3, в некоторый момент времени произведение будет равняться 0, и мы Рис.3 получим , то есть, вся вода из цистерн будет вытеснена. Решим эту систему для частного случая.Пусть 1. В начальный момент времени лодка находится вначале координат, а вектор е скорости направлен по горизонтали и равен .Тогда начальные условия будут такими .В рассматриваемом частном случае, система уравненийпринимает следующий вид .Первое уравнение этой системы зависит только от, второе только от , поэтому их можно разделить.
Решим сначала первоеуравнение системы.Так как в это уравнение не входит , можно сделать замену . Решая таким образомполученное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, получим Решим второе уравнение системы.Делаяаналогичную замену, получим линейное неоднородное уравнение, решая которое,получим В итоге получается траектория движения лодкизаданная параметрически Траектория движения подводной лодки для заданныхначальных условий и 1 изображена на рис. 4.Решим исходную систему для произвольного значенияпараметра .На накладывается ограничение ,так как только при выполнении этого условия, силасопротивления оказывается прямо Рис4. пропорциональна скорости.
Систему приведем кнормальной форме Коши, вводя новые переменные В результате получим систему состоящую из четырехдифференциальных уравнений первого порядка .Начальные условия для которой имеют вид .Решения этой системы для нескольких значенийпараметра представлены на рис. 5. Рис. 5 а. Так как при близких значениях траектория почти не изменяется и графикисливаются, для большей наглядности изобразим их в более крупном виде. Рис.5 б.На рис.5 а,б изображены решения исходной системыдля Найдем значение для которого время всплытия будет наименьшим иуравнение движения при этом значении параметра.
Очевидно, что если то , и система принимаетследующий вид ,где - функция, зависящая от времени.
График решения этой системы представлен на рис.6.Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другимзначением . А это значит, что, приданном значении параметра, она всплыветс определенной глубины за минимальное время.Рис. 6 При отрицательномзначении праметра траектория будет практически совпадать с траекторией , но, в этом случае, задачатеряет физический смысл.Заключение.Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи.Исходную систему, невозможно решить вобщем виде, без использования ЭВМ, или численных методов решения задачи.Но, уже по частным случаям решений, можно увидетьнекоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-товыводы.
Сам процесс всплытия подводной лодки достаточносложный физический процесс.На всплытие лодки влияют не только несколько силдействующие на не . Большое значение имеют гидродинамические параметры, которыев построении данной модели не учитывались.
Для численных решений системы и построения графиков были взяты реальныеразмеры и начальная скорость подводной лодки, что позволило как можно большеприблизить рассмотренный процесс к реальному.Список литературы.1. Агафонов С.А ГерманА.Д Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения М. Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000 347 с.2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравненийМ. Изд-во технико-теоретической литературы,1950 467 с.3. Осипенко Л ЖильцовЛ Мормуль Н. Атомная подводная эпопеяМ. Боргес , 1994 350 c.