Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

Министерство образования Украины Донецкий государственный технический университет Курсовая работа на тему Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка по дисциплине Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ Выполнил студент гр. ХТ-96 Кузнецов М.В. Проверил доц. Чеховской Б.Я. г. Донецк 1998 год РЕФЕРАТ Дифференциальные Уравнения, Метод Рунге-Кутта, РК-4, Концентрация, Метод Эйлера, Задача Коши, Ряд Тейлора, Паскаль, Реакция, Интервал, Коэффициенты Дифференциального Уравнения.

Листов 28 Таблиц 2 Графиков 4 Решить систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка, расчитать записимость концентрации веществ в зависимости от времени, проанализировать полученную зависимость, удостовериться в действенности метода.Содержание Введение 1. Постановка задачи2. Суть метода3. Выбор метода реализации программы4. Блок схема 5. Программа 6. Идентификация переменных7. Результаты 8. Обсуждение результатов 9. Инструкция к программе 23 10. Заключение.27 Литература Введение Обыкновенные дифференциальные уравнения ОДУ широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.

Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ. В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция yx и ее первые n производных по аргументу x x, y, y1, yn 0. 1.1 Из теории ОДУ известно, что уравнение 1.1 эквивалентно системе n уравнений первого порядка kx, y1, y1 ,y2 ,y2 , ,yn ,yn 0. 1.2 где k1, , n. Уравнение 1.1 и эквивалентная ему система 1.2 имеют бесконечное множество решений.

Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.

В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений. Первый тип это задачи Коши, или задачи с начальными условиями.Для таких задач кроме исходного уравнения 1.1 в некоторой точке xo должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции yx и ее производных yx0y0 , y x0y10, , yn-1x0yn-1,0. Для системы ОДУ типа 1.2 начальные условия задаются в виде y1x0y10 , y2x0y20, , ynx0yn0. 1.3 Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями.

Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x x0 ,xk, то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум. Третий тип задач для ОДУ это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций yx и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров 12 хm которые называются собственными значениями Для единственности решения на интервале x0xk необходимо задать mn граничных условий В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот коэффициентов диссипации структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах задачи нахождения фазовых коэффициентов коэффициентов затухания распределения напряженностей полей волновых процессов и тд К численному решению ОДУ приходится обращаться когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений Большинство методов решения ОДУ основано на задаче Коши алгоритмы и программы для которой рассматриваются в дальнейшем 1. Постановка задачи Многие процессы химической технологии описываются СДУ - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами В основу математических способов описания процессов положены СДУ и СЛАУ Эти уравнения описывают материальные и тепловые балансы объектов химической технологии а так же структуры потоков технических веществ в этих аппаратах Для получения распределения технологических параметров во времени и в пространстве в пределах объекта необходимо произвести СДУ методом которых дал бы высокую точность решения при минималььных затратах времени на решение потому что ЭВМ должна работать в режиме реального времени и успевать за ходом технологического процесса Если время на решение задачи большое то управляющее воздействие выработанное на ЭВМ может привести к отрицательным воздействиям Методов решения существует очень много В данной работе будет рассмотрен метод решения СДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка.

Для удобства работы на ЭВМ, необходимо данную кинетическую схему преобразовать в удобный для работы на компьютере вид. Для этого необходимо кинетическую схему процесса представить в виде уравнений.

При рассмотрении кинетической схемы процесса необходимо учитывать коэффициенты скоростей реакций.

Но, так как процесс протекает при изотермических условиях, коэффициенты скоростей реакций можно считать за константы скоростей химической реакции.

Из приведенной ниже схемы мы можем составить ряд дифференциальных уравнений, учитывающих изотермичность процесса.

Так как коэффициенты K1,K2,K3,K4 являются константами, то можно уравнение записать в следущем виде. Для преобразования данных дифференциальных уравнений для использования их в расчетах тепловых и кинетических схем методами Рунге-Кутты необходимо подставлять вместо производных значений концентраций, значения концентраций данных в начале процесса.

Это обусловлено тем, что метод Рунге-Кутты четвертого порядка, который будет использован для расчета кинетической схемы процесса.

Так как этот метод требует сведений только об одной точке и значений функции. 2. Суть метода Разбор и рассмотрение методов применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений мы начнем с их широкой категории известной под общим названием методов Рунге-Кутта Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами 1 Эти методы являются одноступенчатыми чтобы найти уm1 нужна информация о предыдущей точке xmym 2 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода 3 Они не требуют вычисления производных от f xy а требуют вычисления самой функции Рассмотрим сначала геометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрических аналогий После этого мы подтвердим полученные результаты аналитически Предположим нам известна точка xmym на искомой кривой Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угла наклона уmfxmym которая пройдет через точку xmym Это построение показано на рис1 где кривая представляет собой точное но конечно неизвестное решение уравнения а прямая линия L1 построена так как это только что описано Тогда следующей точкой решения можно считать ту где прямая L1 пересечет ординату проведенную через точку xxm1xmh Уравнение прямой L1 выглядит так yymymx-xm так как yfxmym и кроме того xm1xmh тогда уравнение примет вид ym1ymhfxmym 11 Ошибка при xxm1 показана в виде отрезка е Очевидно найденное таким образом приближенное значение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h так что ошибка ограничения равна etКh2 Заметим что хотя точка на графике 1 была показана на кривой в действительности ym является приближенным значением и не лежит точно на кривой Формула 11 описывает метод Эйлера один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений Отметим что метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек xmym и xmhymhym Последняя точка есть та самая которая в методе Эйлера обозначалась xm1ym1 Геометрический процесс нахождения точки xm1ym1 можно проследить по рис2 С помощью метода Эйлера находится точка xmhymhym лежащая на прямой L1 В этой точке снова вычисляется тангенс дает прямую Наконец через точку xmym мы проводим прямую L параллельную Точка в которой прямая L пересечется с ординатой восстановленной из xxm1xmh и будет искомой точкой xm1ym1 Тангенс угла наклона прямой и прямой L равен Фxmymhfxmymfxmhymymh 12 где ymfxmym 13 Уравнение линии L при этом записывается в виде yymx-xmФxmymh так что ym1ymhФxmymh 14 Соотношения 12 13 14 описывают исправленный метод Эйлера Чтобы выяснить насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора вспомним что разложение в ряд функции fxy можно записать следующим образом fxyfxmymx-xmfxy-ymfx 15 где частные производные вычисляются при xxm и yym Подставляя в формулу 15 xxmh и yymhym и используя выражение 13 для ym получаем fxmhymhymfhfxhffyOh2 где снова функция f и ее производные вычисляются в точке xmym Подставляя результат в 12 и производя необходимые преобразования получаем Фxmymhfh2fxffyOh2 Подставим полученное выражение в 14 и сравним с рядом Тейлора ym1ymhfh22fxffyOh3 Как видим исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2 являясь таким образом методом Рунге-Кутты второго порядка Рассмотрим модификационный метод Эйлера Рассмотрим рис3 где первоначальное построение сделано так же как и на рис2 Но на этот раз мы берем точку лежащую на пересечении этой прямой и ординатой xxh2 На рисунке эта точка образована через Р а ее ордината равна yymh2ym Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке Фxmymhfxmh2ymh2ym 16 где ymfxmym 17 Прямая с таким наклоном проходящая через Р обозначена через Вслед за тем мы проводим через точку xmym прямую параллельную и обозначаем ее через L0 Пересечение этой прямой с ординатой xxmh и даст искомую точку xm1ym1 Уравнение прямой можно записать в виде yymx-xmФxmymh где Ф задается формулой 16 Поэтому ym1ymhФxmymh 18 Соотношения 16 17 18 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка Обобщим оба метода Заметим что оба метода описываются формулами вида ym1ymhФxmymh 19 и в обоих случаях Ф имеет вид Фxmymha1fxmyma2fxmb1hymb2hym 110 где ymfxmym 111 В частности для исправленного метода Эйлера a1a212 b1b21 В то время как для модификационного метода Эйлера a10 a21 b1b212 Формулы 19 110 111 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты Посмотрим какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a1 a2 b1 и b2 Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h в общем случае достаточно одного параметра Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2 потребуется еще два параметра так как необходимо учитывать члены h2fx и h2ffy Так как у нас имеется всего четыре параметра три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2 то самое лучшее на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка В разложении fxy в ряд 15 в окрестности точки xmym положим xxmb1h yymb2hf Тогда fxmb1hymb2hffb1hfxb2hffyOh2 где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке xmym Тогда 19 можно переписать в виде ym1ymha1fa2fha2b1fxa2b2ffyOh3 Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора можно переписать в виде ym1ymha1fa2fha2b1fxa2b2ffyOh3 Если потребовать совпадения членов hf то a1a21 Сравнивая члены содержащие h2fx получаем a2b112 Сравнивая члены содержащие h2ffy получаем a2b212 Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных то одно из этих неизвестных можно задать произвольно исключая может быть нуль в зависимости от того какой параметр взять в качестве произвольного Положим например a20 тогда a11- b1b212 и соотношения 19 110 111 сведутся к ym1ymh1-fxmymfxmh2ymh2fxmymOh3 112 Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка При 12 мы получаем исправленный метод Эйлера при 1 получаем модификационный метод Эйлера Для всех отличных от нуля ошибка ограничения равна etkh3 113 Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому как это делалось при выводе методов первого и второго порядков Мы не будем воспроизводить выкладки а ограничимся тем что приведем формулы описывающие метод четвертого порядка один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений ym1ymh6R12R22R3R4 114 где R1fxmym 115 R2fxmh2ymhR12 116 R3fxmh2ymhR22 117 R4fxmh2ymhR32. 118 Ошибка ограничения для этого метода равна etkh5 так что формулы 114-118 описывают метод четвертого порядка Заметим что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза 3. Выбор метода реализации программы Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения метод Рунге- Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений - этот метод является одноступенчатым и одношаговым - требует информацию только об одной точке - имеет небольшую погрешность - значение функции рассчитывается при каждом шаге 4. Блок-схема программмы Основная программа Процедура INIT Вход f1,C1,C2,C3 f1,k1,k2,k3,k4 f1,Xn,Xk,dp,n,eps,p выход 5. Программа PROGRAM smith04USES crt VAR i,ninteger sum,k1,k2,k3,k4,p,dp,eps,Xn,Xk,X,dXreal rSR,C,dC,r1,r2,r3,r4,cPRarray1 3 of real f1,f2text PROCEDURE Difur BEGIN dC1C3k2C2k4-C1k1-C1k3 dcA dC2C1k3-C2k4 dcB dC3C1k1-C3k2 dcC END PROCEDURE RK4 BEGIN Difur FOR i1 TO n DO BEGIN r1idCi CicPRir1idX2 END Difur FOR i1 TO n DO BEGIN r2idCi CicPrir2idX2 END Difur FOR i1 TO n DO BEGIN r3idCi CicPRIr3idX END Difur FOR i1 TO n DO r4idCi FOR i1 TO n DO rSRir1ir2ir2ir3ir3ir4i6 END PROCEDURE STROKA BEGIN WRITEf2 x41 c173 c273 c373, WRITEf2,sum30 dc173 dc273 dc373, WRITELNf2 END PROCEDURE RUN BEGIN WRITEStep 3 Calculating data and writting results to file out.rez XXn dX0.05 REPEAT IF ABSx-p eps THEN BEGIN Difur sumC1C2C3 STROKA ppdp END FOR i1 TO n DO CpriCi RK4 XXdX UNTILX Xk WRITELN - done. END PROCEDURE INIT BEGIN ClrScr WRITELNSmith-04 v1.0 c 1998 by Mike Smith smith01home.bar.ru WRITELN WRITELN WRITEStep 1 Read data from file in.dat ASSIGNf1,in.dat RESETf1 READLNf1,C1,C2,C3 READLNf1,k1,k2,k3,k4 READLNf1,Xn,Xk,dp,n,eps,p WRITELN - done. ASSIGNf2,out.rez REWRITEf2 WRITEStep 2 Write header to file out.rez WRITELNf2, WRITELNf2, t,c Ca, Cb, Cc, SUM dCa dCb dCc WRITELNf2, WRITELN - done. END PROCEDURE DONE BEGIN WRITELNStep 4 Close all files and exiting CLOSEf1 WRITELNf2, CLOSEf2 WRITELN END BEGIN INIT RUN DONE END. 6. Идентификация переменных Таблица 1 7. Результаты расчета Таблица 2 8. Обсуждение результатов расчета.

В результате расчета кинетической схемы процесса на языке Паскаль методом Рунге-Кутты, были получены результаты зависимости изменения концентрации реагирующих веществ во времени.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что расчет произведен верно, так как, исходя из полученных значений скоростей реакций можно сделать вывод, что соблюдается баланс скоростей химической реакции.

Рассмотрим процесс подробнее.

Вещество А на протяжении всего процесса расходуется на образование веществ В и С. Концентрации вещества А в начальный момент времени расходуется быстрее, чем концентрации его же в конце процесса.

Это обусловлено тем, что скорость химической реакции зависит от концентрации реагирующего вещества.

Производная имеет знак минус.

Это говорит о том, что вещество расходуется.

Следовательно, чем выше концентрация вещества, вступающего в процесс, тем выше скорость его реагирования с другими веществами.

Вещества В и С образуются пропорционально, так как, исходя из кинетической схемы процесса и значений констант скоростей химической реакции, видно, что образование этих веществ и расходование этих веществ, одинаково.

Производная имеет знак плюс. Это говорит о том, что вещество образуется.

График. 4 Это видно также и по результатам расчета, на протяжении всего времени исследования процесса концентрации и скорости веществ В и С одинаковы.

В этом можно убедиться по виду графической зависимости концентрации веществ В и С от времени.

Можно сказать, что процесс протекает в сторону увеличения концентрации веществ В и С и уменьшения концентрации вещества А. Процесс будет протекать до момента установления равновесия, но в данном случае равновесие не установлено, так как вещества продолжают расходоваться и образовываться.

На протяжении всего процесса ни одно из образующихся веществ не поменяло знак производной.

Это говорит о том, что процесс протекает в одну сторону. 9. Инструкция к программме Итак, программа состоит из 3 основных процедур 1 Init - процедура инициалиации, включающую в себя ввод данных 2 Run - процедура вычисления и обработки результатов, включает в себя вызов двух вспомогательных процедур Difur, RK-4, Stroka, первая из которых отвечает за вычисление, а последняя - за вывод результатов в файл в табличном виде 3 Done - процедура подготовки к выходу из программы и трех вспомогательных a Difur - процедура вычисления производных изменение концентрации веществ за единикцу времени b RK-4 - используя значения производных, вычисленных процедурой Difur, вычисляет последущие концентрации веществ методом Рунге-Кутта c Stroka - процедура вывода результата в файл в табличном виде Рассмотрим все эти процедуры поподробнее Процедура INIT В данной процедуре задействованы операторы вводавывода WiteRead, оператор модуля Crt - CrlScr - очистка экрана, файлового вводавывода - ResetRewrite открытие файла для чтения и создание нового файла, соответственно.

Данная процедура выполняет функцию инициализации программных данных, считывание данных из файла in.dat, создание, открытие на запись файла out.rez и запись в него шапки таблицы результатов.

Процедура RUN В данной процедуре задействованы операторы цикла RepeatUntil, и ForDo c операторами условного перехода IFThen. В зависимости от условий вызываются процедуры Difur и Strok. В теле цикла постоянно вызывается процедура RK-4 вызывающая 4 раза функцию Difur. Процедура DONE В данной процедуре задействованы оператор работы с файлами Close, который закрывает файлы с исходными данными и файл с полученными в резуультате вычислений результатами.

Процедура DIFUR Данная процедура вычисляет производную изменения концентрации везества за единицу времени.

Процедура STROKA Данная процедура с помощью оператора вывода WRITE записывает результаты в файл, соответствующий файловой переменной F2, назначенной коммандой ASSIGN в процедуре INIT Процедура RK-4 Данная процедура, используя вызовы процедур Difur, а также циклы операторы цикла FOR, вычисляет последуущие концентрации веществ по предидущим точкам.

Программа представляет собой 2 файла файл с исходным текстом на языке Паскаль smith.pas и исполняемый модуль smith.exe скомпилированный компилятором TNT Pascal 3.25 фирмы Layers Ins. Исполняемый модуль программы предназначен для запуска в операционных системах MS Dos, Windows95, Windows NT, OS2, а также в X-windows под Linux при наличии эмулятора Для нормальной работы программе необходимо 640 кb нижней памяти и 20 kb дискового пространства.

Согласитесь требования минимальные, учитывая то, что сама программа абсолютно не требовательна к процессору.

В процессе работы программа считывает данные из файла in.dat и записывает результаты работы в файл out.rez в табличном виде. Исходный файл программма открывает стандартными средствами ОС, не проверяя его наличие перед работой, поэтому, если данный файл не будет доступен в каталоге, в котором расположена программа, компилятор выдаст сообщение об ошибке.

Если Вы после запуска программы увидели что-то типа Runtime error 202 at 0A86 - это всего лишь значит, что программа не смогла найти файл с исходными данными в текущем каталоге.

Если Вы забыли поместить его туда, скопируйте этот файл в каталог с программой и запустите исполняемый модуль еще раз. Если данный файл у Вас отсутствует, Вам прийдется сделать его самому.

Для этого в любом текстовом редакторе наберите 3 выделенных строчки и сохраните созданный файл с именем in.dat 100 0 0 0.2 0.1 0.2 0.1 0 10 0.5 3 0.05 0 Создав файл и скопировав его к исполняемому модулю программы, запустите исполняемый модуль еще раз. В процессе работы программа будет выдавать сообщения об успешном окончании каждого блока.

Если все прошло нормально, то на экране своего компьютера Вы увидите следуще сообщения Step 1 Read data from file in.dat - done. Step 2 Write header to file out.rez - done. Step 3 Calculating data and writting results to file out.rez - done. Step 4 Close all files and exiting Первый шаг step1 сообщает, что данные из файла in.dat были успешно прочитаны Второй о том что программа успешно создала выходной файл out.rez и записала в него шапку таблицы с данными В третьем сообщении сказано, что данные успешно посчитаны и записаны в выходной файл out.rez Четвертое сообщение сообщает об окончании вычислений и завершении программы.

После того, как программа отработает, Вы сможете познакомится с результатами, которые были вычислены и помещены в файл результатов out.rez. Просмотрев его любой программой просмотра текстовых файлов или вывев его на печать, вы получите таблицу c результатами. 10. Заключение.

В результате выполнения расчета получена зависимость изменения концентрации вещества во времени.

Из расчета следует, что на протяжении всего процесса вещество А расходовалось на образование В и С. Процесс не достиг конечного состояния не достиг равновесия Максимум концентрации вещества наблюдался при следующих значениях времени при начальном значении времени max соответствовал веществу А при значении времени, равном 10 часам, max соответствовал веществам B и С, однако, это не является максимумом концентрации веществ в процессе вообще, так как вещества B и С продолжают образовываться В ходе выполнения работы был произведен расчет системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты четвертого порядка, произведен расчет кинетической схемы процесса при изотермических условиях при данных значениях концентраций и констант скоростей.

Расчет произведен с малой величиной погрешности.

Литература. 1. Мудров А.Е.Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик.

МП Раско, Томск, 1991 г.