Школа 41 Тема Правильные и полуправильныемногогранники Выполнила Гилева Мария класс 10 В Проверила Латынцева Татьяна Геннадьевна2000 2001 учебный годПравильные и полуправильныемногогранники платоновы и архимедовы тела Правильным многогранником называется выпуклыймногогранник, грани которого равные правильные многоугольники, а двугранныеуглы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершинправильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то жечисло ребер.
Всего вприроде существует пять правильных многогранников. По сравнению с количествомправильных многоугольников это очень мало для каждого целого n gt 2существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников бесконечно много.Правильные многогранники имеют названия по числу граней тетраэдр 4 грани гексаэдр 6 граней , октаэдр 8 граней , додекаэдр 12граней и икосаэдр 20 граней . По-гречески хедрон означает грань, тетра , гекса и т. д. указанные числа граней.
Нетруднодогадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Гранитетраэдра, октаэдра и икосаэдра правильные треугольники, куба - квадраты,додекаэдра правильные пятиугольники. Еслиобозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q,а количество граней, сходящихся в одной вершине за p, можно получитьточные характеристики каждого правильного многогранника.Вот они первое число q, второе p 3 3 , 3 4 , 4 3 , 3 5 , 5 3 . При этому куба и октаэдра, а также у икосаэдра и додекаэдра, числа p и qоказываются как бы переставленными.
Эти многогранники называют двойственными.Тетраэдр считается двойственным сам себе. У двойственных многогранниковколичество ребер одинаковое. Правильныемногогранники симметричны.Это означает, что для любого произвольно выбранногоребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернутьмногогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD,точка A в любой его конец C или D , а грань Fсовпадет с одной из двух примыкающих к нему граней.
Таких возможных поворотов самосовмещений всего существует 4P, где P число ребермногогранника.При этом половина из них повороты вокруг воображаемых осей,соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней науглы, кратные соответственно 2p q, p и 2p p, а другая половина симметрии относительноплоскостей и зеркальные повороты . Указанное свойствомаксимальной симметричности иногда принимают за определение правильногомногогранника.
Но человеку, далекому от математики, трудно представить себегеометрическое тело с таким определением. Иоганн Кеплерназывал куб родителем всех правильных многогранников. На основекуба он смог построить все другие виды правильных многогранников.Если провестив противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутсявершинами тетраэдра, а вершины октаэдра это центры граней куба. Полученныемногоугольники действительно правильные, так как их грани правильныетреугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при поворотекуба ребро многогранника можно перевести в любое другое.
Для того,чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x пока что это любая длина так, чтобы он был параллелен двум сторонам своейграни и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина егодолжна совпадать с центром грани.Соединим концы этих отрезков между собой, имы получим двадцатигранник, грани которого треугольники, и при каждой вершинеих пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этого многогранникаравны, т. е. он правильный.
Т.к. куб симметричен, то все ребра, непринадлежащие граням куба равны между собой.Примем длину ребра куба за a.Рассмотрим треугольник ABC рис. 2 , где AC a x,BC2 CD2 BD2 1 4 a2 1 4 x2. По теоремеПифагора получаем AB2 AC2 CB2 x2 a2 a x 2 4. Приравнивая ABк x, получаем квадратное уравнение x2 a x a2 0, откуда x a 2. Интересно, что полученный множитель при a, т.е. отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра не что иное, какзолотое сечение.
Теперь докажемравенство двугранных углов. Рассмотрим 5 ребер, выходящих из точки A.Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O.Отсюда следует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O,а значит на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A,равны.Значит, эти пять точек и точка a вершины правильной пирамиды, аее двугранные углы при вершине равны.
Додекаэдр изикосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба. соединяя серединысмежных граней икосаэдра, мы получаем правильнгый пятиугольни. Всего такихпятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, так кактрехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы. Правильныемногогранники также называют платоновыми телами, хотя они были известны еще занесколько веков до Платона.В одном из своих диалогов Платон связал правильныемногоугольники с четырьмя стихиями.
Тетраэдру соответствовал огонь, кубу земля, октаэдру воздух, икосаэдру вода. Додекаэдру соответствовала пятаястихия эфир. Так называемыеполуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел,полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных рядаправильных призм и антипризм с равными ребрами. В эпохуВозрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильныемногогранники со строением Вселенной.С большей или меньшей точностью онразместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильныемногогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписанв большую. Но имя Кеплера в геометрии прославило открытие двух из четырехправильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашел француз Луи Пуансо.Рис. 1 Правильные многогранники Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр ИкосаэдрРис.2 Получение правильных многогранников из кубаРис. 3 Архимедово тело, образованное из икосаэдраРис. 4 Одно из звездных тел.