Псевдообратные матрицы

Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица. Если А квадратная и невырожденная матрица, то для не существует обратная матрица А -1. Если же А не квадратная, а прямоугольная mЧn матрица m n или квадратная, но вырожденная, то матрица А не имеет обратной и символ А -1не имеет смысла.Однако, как будет показано далее, для произвольной прямоугольной матрицы А существует псевдообратная матрица А, которая обладает некоторыми свойствами обратной матрицы и имеет важные применения при решении системы линейных уравнений.

В случае, когда А квадратная невырожденная матрица, псевдообратная матрица А совпадает с обратной А -1. Скелетное разложение матрицы. В дальнейшем мы будем пользоваться представлением произвольной прямоугольной mЧn матрицы А аik ранга r в виде произведения двух матриц В и С, имеющих соответственно размеры m Ч r и r Ч n r rA . 1 Здесь ранги сомножителей В и С обязательно равны рангу произведения А, rВ rс r. Действительно, r rВ, rс. Но ранги rВ и rс не могут превосходить r, так как r один из размеров матриц В и С. Поэтому rВ rс r. Для того чтобы получить разложение 1, достаточно в качестве столбцов матрицы В взять любые r линейно независимых столбцов матрицы А, либо любые r линейно независимых столбцов, через которые линейно выражаются столбцы матрицы А.2 Тогда произвольный j-й столбец матрицы А будет линейной комбинацией столбцов матрицы В с коэффициентами c1j, c2j crj эти коэффициенты и образуют j-й столбец матрицы С j 1 n .1 Определение псевдообратной матрицы было дано в 1920 г. Муром, указавшим на важные применения этого понятия.

Позже независимо от Мура в несколько иной форме псевдообратная матрица определялась и исследовалась в работах Бьерхаммара, Пенроуза и других авторов. 2 Мы исходим из известного положения в матрице А ранга r имеется r линейно независимых столбцов, через которые линейно т. е. в виде линейных комбинаций с числовыми коэффициентами из данного поля выражаются все остальные столбцы.

Аналогичное утверждение имеет место и для строк. 3 Совершенно так же строками матрицы С могут быть любые r строк, через которые выражаются в виде линейных комбинаций все строки матрицы А. Тогда коэффициенты этих линейных комбинаций образуют строки матрицы В. Поскольку матрицы В и С имеют максимально возможный ранг r, то квадратные матрицы ВВ и СС являются невырожденными ВВ 0, СС 2 Действительно, пусть столбец x произвольное решение уравнения ВВx 3 Умножим это уравнение слева на строку х. Тогда хВВx ВхВх 0. Отсюда следует Вх 0 и поскольку Вx линейная комбинация линейно независимых столбцов матрицы В x 0. Из того, что уравнение 3 имеет только нулевое решение х 0, вытекает, что ВВ 0. Аналогично устанавливается второе неравенство 2.1 Разложение 1 будем называть скелетным разложением матрицы А. 1 Неравенства 2 также непосредственно следует из формулы Бине Коши. Согласно этой формуле определитель ВВ СС равен сумме квадратов модулей всех миноров r го порядка матрицы В соответственно С. 2. Существование и единственность псевдообратной матрицы. Рассмотрим матричное уравнение АХА А. 4 Если А квадратная невырожденная матрица, то это уравнение имеет единственное решение Х А-1. Если же А произвольная прямоугольная mЧn матрица, то искомое решение Х имеет размеры nЧm, но не определяется однозначно.

В общем случае уравнение 4 имеет бесчисленное множество решений. Ниже будет показано, что среди этих решений имеется только одно, обладающее тем свойством, что его строки и столбцы являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов сопряженной матрицы А. Именно это решение мы будем называть псевдообратной матрицей для А и обозначать через А. Матрица А размеров nЧm называется псевдообратной для mЧn матрицы А, если выполняются равенства 1. ААА А, 5 А UА АV, 6 где U и V некоторые матрицы.

Докажем сначала, что для данной матрицы А не может существовать двух различных псевдообратных матриц А1 и А2. Действительно, из равенств АА1А АА2А А, А1 U1А АV1, А2 U2А АV2, полагая D А2 А1, U U2 U1, V1 Найдм АDА 0, D UА АV. Отсюда DАDА АDDА АVАDА 0 и, следовательно DА 0. Но тогда DD DАU 0, т.е. D А2 А1 0. Для того чтобы установить существование матрицы А, мы воспользуемся скелетным разложением 1 и будем искать сначала псевдообратные матрицы В и С.2 Так как по определению должны иметь место равенства ВВВ В, В В , 7 где некоторая матрица, то В ВВ В. 1 Условия 6 означают, что строки столбцы матрицы А являются линейными комбинациями строк столбцов матрицы А. 2 Из определения сразу следует, что если А 0, то и А 0. Поэтому в дальнейшем предполагается, что А 0, и потому r rA 0. Умножая слева на В и замечая, что ВВ невырожденная квадратная матрица, найдм ВВ-1. Но тогда второе из равенств 7 дат искомое выражение для В В ВВ-1В. 8 Совершенно аналогично найдем С ССС-1. 9 Покажем теперь, что матрица А СВ ССС-1ВВ-1В 10 удовлетворяет условиям 5, 6 и, следовательно, является псевдо-обратной матрицей для А. В самом деле, ААА ВСССС-1ВВ-1ВВС ВС А. С другой стороны, из равенств 8 10 с учтом равенства А СВ, полагая К СС-1ВВ-1, находим А СКВ СКСС-1ССВ UСВ UА, А СКВ СВВВВ-1КВ СВV АV, где U СКСС-1С, V ВВВ-1КВ. Таким образом доказано, что для произвольной прямоугольной матрицы А существует одна и только одна псевдообратная матрица А, которая определяется формулой 10, где В и С сомножители в скелетном разложении А ВС матрицы А.1 Из самого определения псевдообратной матрицы непосредственно следует, что в случае квадратной невырожденной матрицы A псевдообратная матрица A совпадает с обратной А-1 . П Р И М Е Р. Пусть . Здесь r 2. Примем в качестве столбцов матрицы В первые два столбца матрицы А. 1 Разложение 1 не определяет однозначно сомножителей ВС. Однако поскольку, как было доказано, существует только одна псевдообратная матрипа А , формула 10 при всех скелетных разложениях матрицы А дат одно и то же значение для А. Тогда , и ВВ , ВВ-1 , СС СС-1 Поэтому согласно формуле 10 А 3. Свойства псевдообратной матрицы.

Отметим следующие свойства псевдообратной матрицы 1. А А 2. А А 3. АА АА, АА2 АА 4. АА АА, АА2 АА. Первое свойство означает, что операции перехода к сопряжнной и к псевдообратной матрице перестановочны между собой. Равенство 2 выражает собой взаимность понятия псевдообратной матрицы, так как, согласно 2, псевдообратной матрицей для А является исходная матрица А. Согласно равенствам 3 и 4 матрицы АА и АА являются эрмитовыми и инволютивными квадрат каждой из этих матриц равен самой матрице.

Для вывода равенства 1 воспользуемся скелетным разложением 1 А ВС. Тогда равенство А СВ дат скелетное разложение матрицы А. Поэтому, заменяя в формуле 10 матрицу В на С, а матрицу С на В, получим А ВВВ-1СС-1С ССС-1ВВ-1В А. Равенства А СВ, В ВВ-1В, С ССС-1 являются скелетными разложениями.

Следовательно, А В С В В ВСС С. Используя свойство 1, а также выражения для В и С, найдем А ВВВ-1ВВСССС-1С ВС А. Справедливость равенств 3 и 4 проверяется непосредственно путм подстановки в эти равенства вместо А соответствующего выражения из формулы 10. Заметим, что в общем случае, когда разложение А ВС не является скелетным, не всегда имеет место равенство А СВ. Так, например, ВС. Здесь А А-1 , В , С . СВ А. 4. Наилучшее приближнное решение. по методу наименьших квадратов.

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений 11 или в матричной записи Ах у. 12 Здесь у1, у2 уm заданные числа, а х1, х2 хn искомые.

В общем случае система 11 может быть и несовместной.

Столбец х0 13 называется наилучшим приближнным решением системы 11, если при значениях х1 , х2 хn квадратичное отклонение у Ах 2 14 достигает своего наименьшего значения и среди всех столбцов х, для которых это отклонение имеет минимальное значение, столбец х0 имеет наименьшую длину, т. е. для этого столбца величина х2 хх 15 имеет наименьшее значение.

Покажем, что система 11 всегда имеет одно и только одно наилучшее приближнное решение и это приближнное решение определяется по формуле х0 Ау , 16 где А псевдообратная матрица для матрицы А. Для этого рассмотрим произвольный столбец х и положим у Ах u v, где u у Ах0 у АА у, v А х0 х . 17 Тогда получим у Ах 2 у Аху Ах u vu v uu vu uv vv. 18 Но vu х0 х А у ААу х0 х А А АА у. 19 Исходя из разложения 1 и формулы 10, найдем ААА СВВСССС-1ВВ-1В СВ А, Поэтому из равенства 19 следует vu 0, 20 но тогда и uv vu 0. 21 Поэтому из равенства 18 находим у Ах 2 u 2 v 2 у Ах0 2 А х0 х 2, 22 И, следовательно, для любого столбца х у Ах у Ах0 , 23 Пусть теперь у Ах у Ах0 тогда, согласно равенству 22, Аz 0, 24 где z х х0. С другой стороны, х2 х0 zх0 z х02 z 2 х0z zх0. 25 Вспоминая, что A АV, получим в силу 24 х0z Аyz АVyz yVАz 0. 26 Но тогда и zх0 х0z 0. Поэтому из равенства 25 находим х2 х02 z 2 И, следовательно, х2 х02, 27 причм знак имеет место только при z 0, т.е. при х х0, где х0 Аy. Пример.

Найти наилучшее приближнное решение по методу наименьших квадратов системы линейных уравнений х1 - х2 2х3 3 х1 2х2 3х3 х4 6, х2 - х3 х4 0. Здесь . Но тогда , И потому . Следовательно, 1, 1, 0, 2. Определим норму m Ч n матрицы A как неотрицательное число, задаваемое формулой . 28 При этом очевидно, что 29 Рассмотрим матричное уравнение АХ У, 30 где А и У заданные m Ч n и m Ч р матрицы, а Х искомая n Ч р матрица.

Определим наилучшее приближнное решение Х0 уравнения 30 из условия причем в случае, когда требуется чтобы . Из соотношений , 31 32 следует, что k-й столбец искомой матрицы Х0k должен быть наилучшим приближнным решением системы линейных уравнений А Хk Уk . Поэтому Х0k АУk . Поскольку это равенство справедливо при любом k 1, р, то Х0 АУ. 33 Таким образом, уравнение 30 всегда имеет одно и только одно наилучшее приближнное решение, определяемое формулой 33. В частном случае, когда У Е единичная матрица m-го порядка, имеем X0А. Следовательно, псевдообратная матрица А является наилучшим приближнным решением по методу наименьших квадратов матричного уравнения АХ Е. Это свойство псевдообратной матрицы А может быть принято в качества е определения. 5. Метод Гревилля последовательного нахождения псевдообратной матрицы.

Пусть аk k-й столбец в m Ч n матрице А, Аk а1 аk матрица, образованная первыми k столбцами матрицы А, bk последняя строка в матрице Аk k 1 n, A1 a1, An A Тогда Аk а1 34 и для k 1 имеют место рекуррентные формулы Аk , Вk dkbk , dk аk 35 При этом, если сk аk k 0, то bk аk k 36 если же сk 0, т.е. аk k , то bk 1 kdk -1dk . 37 Далее проверим, что матрица является псевдообратной для матрицы Аk, если матрица Вk и строка bk определяются формулами 28 32. Этот метод не требует вычисления детерминантов и может быть использован для вычисления обратной матрицы.

П р и м е р. Пусть Заметим, что для каждой вещественной матрицы М мы можем писать М вместо М. Тогда , d2 , c2 a2 A1d2 B2 . Таким образом Далее и Поэтому и.