4. Зависимость функций 1. Понятие зависимости функций. Достаточное условие независимости. Пусть m функций от одних и тех же n переменных u1 ц1 x1, x2, , xn u2 ц2 x1, x2, , xn 28 um цm x1, x2, , xn определены и дифференцируемы в некоторой открытой n-мерной области D В частности, в качестве области D можно взять некоторую окрестность фиксированной точки M0 n-мерного пространства.Будем говорить, что одна из этих функций, например uk, зависит в области D от остальных функций, если сразу для всех точек x1, x2, , xn области D uk Ф u1, , uk-1, uk 1 , um 29 где Ф некоторая функция, определенная и дифференцируемая в соответствующей области изменения своих аргументов.
Функции u1, u2, , um будем называть зависимыми в области D, если одна из этих функций все равно какая зависит в области D от остальных.Если же не существует дифференцируемой функции Ф такой, что сразу для всех точек области D справедливо тождество вида 29 , то мы будем называть функции u1, u2, , um независимыми в области D. Примеры 1.Легко убедиться в том, что три функции четырех переменных u1 x12 x22 x32 x42 u2 x1 x2 x3 x4 u3 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4 зависимы в любой области D четырехмерного пространства, ибо для всех точек x1, x2, x3, x4 этой области u1 u22 - u2. Покажем теперь, что две функции двух переменных u1 x y и u2 x y независимы в любой области D плоскости х, у, содержащей начало координат.
Ясно, что функция u1, сохраняет постоянное значение нуль на прямой x y 0, проходящей через начало координат рис. 5 . Но на этой прямой функция u2 имеет переменное значение u2 2x. Поэтому на том участке этой прямой, который лежит внутри D, u2 заведомо не зависит от u1. Совершенно аналогично доказывается, что на лежащем внутри области D участке прямой x - y 0 u2 0, u1 2x и, стало быть, u1 не зависит от u2. Теорема 3 достаточное условие независимости функций . Пусть m функций от n ? m переменных u1 ц1 x1 , , xm, xm 1, , xn um цm x1 , , xm, xm 1, , xn определены и дифференцируемы в окрестности точки M0 x1 , , xm, xm 1, , xn . Тогда если якобиан из этих функций по каким-либо m переменным отличен от нуля в точке M0, то эти функции независимы в некоторой окрестности точки M0. Д о к а з а т е л ьс т в о. Не ограничивая общности, будем считать, что в точке M0 отличен от нуля якобиан 30 Докажем теорему от противного. Предположим, что функции u1, u2, , um зависимы в некоторой окрестности точки M0, т. е. одна из этих функций, например uk, для всех точек этой окрестности выражается в виде uk Ф u1, , uk-1, uk 1 , um где Ф - некоторая дифференцируемая функция.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную функции uk по любой из переменных xl l l, 2, m . Будем иметь 31 Формулы 31 , если их взять для любого значения l l, 2, m в точке M0, говорят о том, что k-я строка якобиана 30 представляет собой линейную комбинацию остальных строк с коэффициентами, соответственно равными , , , , , . Но в этом случае якобиан 30 равен нулю в точке M0 что противоречит условию теоремы.
Пример.
Уже рассмотренные выше две функции u1 x y и u2 x y независимы в окрестности любой точки М х, у , ибо якобиан всюду. 2. Функциональные матрицы и их приложения. Снова рассмотрим m функций от n переменных 28 u1 ц1 x1, x2, , xn u2 ц2 x1, x2, , xn 28 um цm x1, x2, , xn На этот раз предположим, что функции 28 определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0 x1 xn , причем все частные производные первого порядка этих функций непрерывны в самой точке M0. Составим из частных производных функций 28 следующую функциональную матрицу 32 содержащую m строк и n столбцов.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть у функциональной матрицы 32 1 некоторый минор r-го порядка минором r-го порядка данной матрицы называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении каких-либо г столбцов и г строк матрицы отличен от нуля в точке M0 x1 xn 2 все миноры r 1 -гo порядка равны нулю в некоторой окрестности точки M0 .Тогда r функций, представленных в указанном миноре r-го порядка, независимы в окрестности точки M0, каждая из остальных функций зависит в этой окрестности от указанных г функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, будем считать, что в точке M0 отличен от нуля минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы 32 , т. е. отличен от нуля определитель 33 Тогда независимость в окрестности точки M0 функций u1, u2, , ur сразу вытекает из теоремы 3. Остается доказать, что любая из функций ur 1, , um зависит в окрестности M0 от u1, u2, , ur. Докажем, например, что ur 1 зависит в окрестности точки M0 от u1, u2, , ur .Сосредоточим свое внимание на первых r функциях 28 . Если обозначить через u10, u20, , ur0 числа вида u10 ц1 x10, x20, , xr0 , , ur0 цr x10, x20, , xr0 , то всюду в некоторой окрестности точки N0 u10 ur0, x10 xn0 n r -мерного пространства первые r функций 28 представляют собой единственное и дифференцируемое решение следующей системы уравнений F1 u1, , ur, x1, , xn ? ц1 x1 , , xn u1 0 34 Fr u1, , ur, x1, , xn ? цr x1 , , xn ur 0 С другой стороны, поскольку якобиан совпадающий с минором 33 , отличен от нуля в точке N0, то систему 34 можно в окрестности этой точки однозначно разрешить относительно x1, , xr. Иными словами, всюду в достаточно малой окрестности точки N0 система 34 имеет единственное и дифференцируемое решение x1 ш1 u1, , ur, xr 1, , xn 35 xr шr u1, , ur, xr 1, , xn Подчеркнем, что равенства 35 и первые r равенств 28 полностью эквивалентны в окрестности точки N0. В частности, если подставить x1, , xr, определяемые уравнениями 35 , в первые r равенств 28 , то указанные равенства обратятся в тождества относительно xr 1, , xn, u1, , ur. Дифференцируя эти тождества по переменной xl l r 1, n и замечая, что u1, u2, , ur не зависят от xr 1, , xn, будем иметь 361 . 36r Заметим, что равенства 361 - 36r справедливы для всех значений переменных x1, x2, , xn из некоторой окрестности точки M0. Для того чтобы убедиться в том, что функция ur 1 зависит в некоторой окрестности точки M0 от u1, u2, , ur, подставим значения x1, , xr, определяемые уравнениями 35 , в r l -e равенство 28 . При этом ur 1 превращается в функцию аргументов u1, , ur, xr 1, , xn ибо ur 1 ц1 x1 , , xr, xr 1, , xn эту функцию мы обозначили символом Ф . Остается доказать, что для всех значений переменных x1 , , xr, xr 1, , xn, лежащих в достаточно малой окрестности точки M0, функция Ф не зависит от xr 1, , xn. Для этого достаточно доказать, что для всех x1 xn из достаточно малой окрестности точки M0 справедливы равенства l r 1, n 37 Продифференцируем функцию Ф по переменной xl l r 1, n как сложную функцию.
При этом получим 36r 1 Рассмотрим теперь следующий минор г 1 -го порядка матрицы 32 По условию теоремы этот минор равен нулю всюду в окрестности точки M0. Умножим равенства 361 - 36r 1 на соответствующие алгебраические дополнения ?1, , ?r, ?r 1, элементов последнего столбца минора 38 и после этого сложим все эти равенства. В силу теоремы о том, что сумма произведений элементов данного столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого другого столбца равна определителю нулю , получим ? ?r 1 39 В равенстве 39 символ ? обозначает минор 38 , равный нулю всюду в окрестности точки M0, а алгебраическое дополнение ?r 1 совпадает с минором 33 , отличным от нуля в точке M0, а стало быть, и в некоторой окрестности этой точки. Из равенства 39 заключаем, что всюду в некоторой окрестности точки M0 справедливы равенства 37 . Теорема доказана.
Пример.
Вернемся к исследованию зависимости функций u1 x12 x22 x32 x42 u2 x1 x2 x3 x4 u3 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4 Функциональная матрица 32 имеет вид Легко убедиться в том, что все определители 3-го порядка тождественно равны нулю, причем в любой точке пространства x1, x2, x3, x4 у которой не все четыре координаты x1, x2, x3, x4 совпадают, хотя бы один из определителей второго порядка , , отличен от нуля. Стало быть, в окрестности любой указанной точки u1 и u2 независимы, а u3 зависит от u1 и u2.