Цепи Маркова

Бил. 19. Цепи Маркова. Пусть сущ-ет произвольная последов-ность испытаний, в каждом из к-рых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий A1 S , A2 S Ak S . Последов-ность испытаний образует цепь Маркова, если условная вероятность в испытании S 1 осуществиться событию зависит от того, какое событие произошло на S-том испытании, и не зависит от того, какие события происх. в более ранних испытаниях. Однородные цепи. Цепь Маркова наз-ся однородной, если событие AjS 1 происходит с вероятностью P AjS 1 , при условии, что в S-том испытании происходит событие AiS с вероятностью P AiS , и эти вероятности не зависят от S и от номера испытаний AiS AjS 1 Pij . Матрица перехода для однородной цепи Маркова. р1 P11 P1k Найдем рn. Pij n Уnr 1 Pir m Pri n-m рn рm рn-m если n 2, то р2 р1 2. Pk1 Pkk если n 3, то р3 р1 р2 р1 3 рn р1 n. Свойства матрицы перехода 1 Уn Pij 1 2 0?Pij?1. r 1 Случайные величины. Функция распределения случайных величин и ее свойства.

Нормальное распределение.

Пусть о кси - случайная величина напр скорость молекул пусть х - произвольное действительное число. Вероятность того, что о примет значение, меньшее х, наз-ся функцией распределения вероятности случайной величины о. F x P о x . Случайная величина - это величина, значение к-рой зависит от случая и для которой определена функция распределения.Случайная величина называется нормально распределенной, если ее функция распределения имеет вид x 2 2 где c 0, a - постоянные распределения Ф х c? e - z-a 2у dz у 0. -f Свойства функции распределения 1 вероятность того, что случайная величина лежит в интервале от x1 до x2 равна разности функций распределения вероятности величин x1 и x2 P x1?о x2 F x1 -F x2 . 2 Функция распределения любой случайной величины - это неубывающая функция. 3 Функция распределения F x для любого x удовлетворяет неравенству 0?F x ?4 Пусть F ? limF n , тогда F ? 0, F 5 Функция распр-я n ?непрерывна слева.

Бил.20. Дискретные распределения. Если случайная величина может принимать только конечное множество значений, и при этом эти значения равны P x ?0 для любого i n - такие величины наз-ся дискретными.

Напр распред-е Бернулли. Непрерывные распределения. Функция плотности вероятности и ее свойства.Если функция распределения случ. величины может быть представлена в виде F x P z dz где P z ?0 для любого z , то это распределение наз-ся непрерывным, а функция P z - функцией плотности вероятности величины о кси . Свойства плотности вероятности 1 P z 0 для любого z. 2 для любого x1, x2 вероятность того, что x1?о x2 определяется интегралом от x1 до x2 ? P z dz. 3 вероятность, что о принадлежит отрезку ? равна 1, и равна интегралу от до P z dz. Числовые характеристики случайных величин.

Мат. ожидание.Пусть x1, x2, xn - возможные значения дискретной величины о, а P1, P2, Pn - соответствующие им вероятности.

Тогда, если ряд У ? xn Pn сходится абсолютно, то его сумма наз-ся n 1мат. ожиданием случайной величины о и обозначается Mо. Если случайная величина о непрерывна, а P x - плотность ее вероятности, то мат. ожидание о равно интегралу от до ? Mо ?xP x dx в тех случаях, когда существует интеграл от до x P x dx. Дисперсия.Дисперсией случайной величины о называется мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины о от ее мат. ожидания mо Dо M о - mо 2, также Dо M о2 - mо 2. Моменты. Моментом k-того порядка наз-ся мат. ожидание нk M о-a k. Если а 0, то момент наз-ся начальным, если а Mо, то момент наз-ся центральным. 1 если k-четное, то M о-a k ? z-a kdFо z 2 если k-нечетное, то момент равен интегралу от до ? M о-a k ? x-a kdFо x . Бил.21 Теоремы о мат. ожидании и дисперсии. 1 мат. ожидание постоянной равно самой постоянной Mо о. 2 мат. ожидание суммы независимых случ. величин з и о равно сумме их мат. ожиданий M о з Mо Mз. Следствие M о1 о2 оn Mо1 Mо2 Mоn.3 M о з Mо Mз следствие MCо CMо. 4 дисперсия постоянной величины равна нулю Dо 0. 5 если C-постоянная, то DCо C2Dо. 6 D о з Dо Dз следствие D о1 о2 оn Dо1 Dо2 Dоn. 7 если F x -функция распределения величины о, а f x -непрерывная функция, то мат. ожидание функции f x равно Mf x ?f x dF x . Связь между центральным и начальным моментом.

Моментом k-того порядка наз-ся мат. ожидание нk M о-a k. Если а 0, то момент наз-ся начальным нk , если а Mо, то момент наз-ся центральным мk . м1 M о-mо Mо-mо 0 м2 M о - mо 2 Dо. мn M о-a n Уn Ck k 0 Дописать скобки матрицы перехода. Дописать Х над интегралом в ф-ции плотности в-ти.