Помимо и даже против воли тогоили другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, илишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, ониполучают более и более широкое распространение Ф. Клейн.Автор Соловьев Алексей 12а. ревнегреческие математики считали настоящими тольконатуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множестванатуральных чисел.В III веке Архимед разработал систему обозначения вплотьдо такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленныеиз целого числа долей единицы.
В практических расчетах дроби применялись за дветысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали,что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в видеотношения таких чисел, то есть дроби.Древнегреческий философ и математик Пифагоручил, что элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом являетсягармонией и числом.
Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделаннымодним из пифагорейцев.Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной.Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразитьдлину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно сэтого открытия начинается эра теоретической математики открыть существование несоизмеримыхвеличин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующимважным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - этобыло сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применялив III веке древнегреческий математик Диофант, знавший ужеправила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые,которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно былоединым образом описывать изменения величин.Уже в VIII веке былоустановлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения -положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекатьнельзя нет такого числа , чтобы . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалосьнеобходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
В формуле для решениякубических уравнений вида кубические и квадратныекорни . Эта формулабезотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень , а если оно имеет тридействительных корня , то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратногокорня из отрицательного числа.
Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени,математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.Но Руффини Италия на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически точнее нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий сложение,вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня . В 1830 годуГалуа Франция доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем4, нельзя решить алгебраически.
Тем не менеевсякое уравнение n-й степени имеет если рассматривать и комплексные числа n корней среди которых могут быть и равные . В этомматематики были убеждены еще в XVII веке основываясь на разборе многочисленных частныхслучаев , но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложилввести числа новой природы.
Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида нужно только условиться действовать над такими выражениями поправилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными , считал их бесполезными и старался ихне употреблять.
В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результатизмерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установленыпервые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлеченияиз них кубических корней.Название мнимые числа ввел в 1637 году французскийматематик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую буквуфранцузского слова imaginaire мнимый для обозначениячисла мнимой единицы . Этотсимвол вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс от латинского complexus означает связь, сочетание, совокупность понятий,предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течениеXVII века продолжалось обсуждение арифметической природымнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенноразвивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем излюбых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математикаА. Муавра 1707 . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы длякосинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу , которая связывала воединопоказательную функцию с тригонометрической.
С помощью формулы Л. Эйлера можно быловозводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например,что . Можно находить sin и cos от комплексныхчисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексногопеременного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать,что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины.С помощью мнимых чиселнаучились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.Такие уравнения встречаются, например, втеории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
Еще раньше швейцарскийматематик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.Хотя в течениеXVIII века с помощью комплексных чисел были решены многиевопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикойи т. д однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.
Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощьюмнимых чисел только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь послеподтверждения прямыми доказательствами.Никто ведьне сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами,хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств Л. Карно. В конце XVIII века, в начале XIX века былополучено геометрическое истолкование комплексных чисел.
Датчанин К. Вессель, французЖ. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексноечисло точкой на координатной плоскости.Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат.При таком истолкованиисложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.Вектор можно задавать не толькоего координатами a и b, но так же длиной r и угломj, который он образует с положительным направлениемоси абсцисс.
При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа.Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностьюдо кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде показательная форма комплексногочисла . Геометрическоеистолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные сфункцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно,что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которыеизображаются векторами на плоскости при изучении течения жидкости, задач теории упругости. После созданиятеории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел- чисел с несколькими мнимыми единицами.Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, которыйназвал их кватернионами . Правила действия над кватернионами напоминает правилаобычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности переместительности например а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтомуя лишь упоминаю об их существовании.
Большой вкладв развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученыеН. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев- к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовойтеории поля. Список используемой литературы Энциклопедический словарь юного математика Школьный словарь иностранных слов Справочник по элементарной математике М. Я Выгодский.