Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

КУРСОВОЙ ПРОЕКТпо дисциплине Информатика студента группы КС-31Кузнецова Дмитрия Олеговича СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1.Задача 1.1 Постановказадачи 1.2 Решение 2. Задача 1.Постановказадачи 2.Решение 3.Задача 1.Постановказадачи 2.Решение 4.Задача 1.Постановказадачи 2.Решение 15 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 16 ВВЕДЕНИЕ Основой автоматизации умственного труда человека является широкое внедрение вычислительной техники вовсе сферы деятельности человека . Применение ЭВМ ускорило процесс математизациинауки и техники . Расширяется круг профессий ,для которых математическаяграмотность и наличие практических навыков применения ЭВМ становятсянеобходимыми.

Решение технической или научной задачи включает е математическоеописание на языке уравнений, функций .Очень часто математическая формулировказадачи может оказаться непереводимой на язык ЭВМ ,так как ЭВМ выполняет толькоарифметические действия. Численный метод решения задачи это определ нная последовательностьопераций над числами , язык которого числа и арифметические действия .Численныеметоды легко реализуются на ЭВМ ,что делает эти методы мощным и универсальныминструментом.

Процесс решения инженерной задачи на ЭВМ сложный и длительный .Онвключает в себя этапы, требующие от разработчика профессиональной подготовки играмотности. Для снижения трудо мкости , на всех типах ЭВМ создан мощныйаппарат технологической поддержки работы пользователя ЭВМ. 1.Задача 1.Уточнить корень уравнения с точностью Е 0,001 методом Ньютона.

Дано нелинейноеуравнение tg ax b x2где a 0,5 и b 0,2.РешениеДля того ,чтобы определить корень ,преобразуем уравнение квиду tg 0.5x 0.2 x2Построим графики двух функций y1 tg 0.5x 0.2 и y2 x2 Кривые на рис.1 описаны следующим образом 1 y1 tg 0.5x 0.2 функция периодическая ,е значения свед м втаблицу 1.1 Таблица1.1. x -3.1 -3 -2 -1 0 1 2 2.1 2.2 y -4.45 -2.57 -1.02 -0,3 0,2 0,84 2.57 3.0 3.6 2 y2 x2 параболаy2 0когда x 0y2 4при x 2По графику определяем ,что уравнение имеет несколькокорней .Для уточнения корня выберем интервал 0,1 .Уточняем корень поформуле Ньютона xn 1 xn- Необходимо выбрать начальное значение x0 , исходя из условиясходимости f x0 f x0 gt 0f x tg 0.5x 0.2 x2 Проверяем условия сходимостидля x 0 f 0 f 0 lt 0,условие не соблюдается Проверяем условие сходимостидля x 1.0 f 0 f 0 gt 0,условие соблюдаетсябер м за x0 1 и условие Т Решение запишем в видетаблицы n x n f x n f x n T lt E 10-1 0 1.0 -0.158000 -1.151000 0.137271 Нет 1 0.862728 -0.013000 -0.976000 0.013119 Нет 2 0.849416 -0.000467 -0.958000 0.000487 Нет 3 0.848929 -0.09 -0.958000 0.09 Да 8920 Врезультате проделанной работы мы определили один корень уравнения вида tg 0.5x 0.2 x2графически,а затем уточнили его методом Ньютона и получили 8929Вывод по решению В результате проделаннойработы мы определили один корень уравнения Tg 0.5x 0.2 x2 графически, а затем уточнили его методом Ньютона иполучили x 89292.Задача 1.Постановка задачиВыбрать формулу интерполяциии с е помощью определить значение функции в точке x 0,38.Функция задана в виде таблицы 2.1 ,Степеньинтерполяционного многочлена равна 3.Таблица 2.1 0,15 0,860708 0,25 0,778801 0,30 0,740818 0,40 0,670320 0,45 0,637628 0,55 0,576950 0,60 0,548812 0,65 0,522046 0,70 0,496585 0,75 0,2.Oцениваем шаг h xi 1 -xiВ этой таблице h const.Дляинтерполяции функции с произвольно задаными узлами выбираем интерполяционныймногочлен Лагранжа Выражения,называемыекоэффициентами Лагранжа Далее построим матрицуЛагранжа Обозначим произведение строкчерез ,а произведение элементов главной диагонали через ,тогда Вычислиме отсюда Пn 1 4,00384.10-9D0 7,68488.10-6 D5 1.1475.10-8D1 -1.84275.10-7 D6 -1.16944.10-8D2 4.2525.10-8 D7 2.3625.10-8D3 2.92313 10-9 D8 -8.91.10-8D4 -7.0875.10-9 D9 7.86713.10-7Далее по формуле ,имеем В результате проделаннойработы мы произвели интерполяцию функции заданной таблицей 2.1 и получилизначение функции в точке х 0,38 y 0,683860.О справедливости полученногорезультата мы можем судить из того ,что точка х 0,38 находиться точками х 0,30и х 0,40 и искомое значение должно находиться между соответствующими значениямиэтих точек.

Полученное значение y 0,683860находиться в пределах между y 0.30 0.670320 и y 0818.Следовательно решение верно.3.Задача 1.Постановка задачиРешить систему линейных уравнений 9.3x1 1.62 a x2 6.1x3 1.9x4 -12.65 b 4.92x1 7.45x2 9.7-a x3 2.46x4 10.21 4.77x1 6.21 a x2 9.04x3 2.28x4 13.45 3.21x1 2.65-a x2 3.69x3 6.99x4 -10.35.методом Гаусса.

Все расч тыведите с тремя значащими цифрами после запятой.2 Результаты вычисленияпрямого хода представьте в виде таблицы с контролем в виде суммирующегостолбца. Вычисления обратного хода сделайте подробно, записав все промежуточныевычисления.2.РешениеПереп ишем систему линейных уравнений в виде 9.3x1 1.62 0.8 x2 6.1x3 1.9x4 -12.65 3.6 4.92x1 7.45x2 9.7-0.8 x3 2.46x4 10.21 4.77x1 6.21 0.8 x2 9.04x3 2.28x4 13.45 3.21x1 2.65-0.8 x2 3.69x3 6.99x4 -10.35. 9.3x1 2.42x2 6.1x3 1.9x4 -9.05 4.92x1 7.45x2 8.9x3 2.46x4 10.21 4.77x1 7.01x2 9.04x3 2.28x4 13.45 3.21x1 1.85x2 3.69x3 6.99x4 -35.Введ м обозначение илиа15,а25,а35,а45 свободныечлены суммирующий контрольный коэффициентПрямой ход. Заполнениетаблицы 1.Запишем аij вчетыр х строках и пяти столбцах раздела 1 таблицы i 1,2,3,4,j 1,2,3,4,2.Стимулирующие аi6 запишемв столбце столбец контроля 3.Вычисляем b1j a1j a11 j 1,2,3, .6 и запишем в пятой строке раздела 14.Вычисляем и проверяем совпала лиона с b16 c вычисленияведутся с постоянным количеством знаков после запятой . В противном случае проверяем действия пункта 3.5.Вычисляем b1ij 1 aij-ai1.b1j i 2,3,4 , j 2,3, .6 и записываем их в в первые три строки раздела 2.6.Проверка.

Сумма элементовкаждой строки и должен совпасть суказанной в п.4 точностью, иначе надо проверить п.5.7.Вычисляем и записываем вчетв ртой строке раздела 28.Проверка как в п.4.9.Вычисляем и записываем в первыедве строки раздела 3.10.Проверка как в п.4.11.Вычисляем j 3,4,5,6 и записываем в третьей строке раздела 3.12.Проверка как в п.4.13. Вычисляем и записываем в первуюстроку раздела 4. i ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 ai6 1 1 2 3 4 9.3 4.92 4.77 3.21 1.0 2.42 7.45 7.01 1.85 0.2602 6.1 8.9 9.04 3.69 0.6559 1.9 2.46 2.28 6.99 0.2043 -9.05 10.21 13.45 -10.35 -0.9731 10.67 33.94 36.55 5.39 1.1473 2 2 3 4 6.1698 5.7688 1.0148 1.0 5.6730 5.9114 1.5846 0.9195 1.4548 1.3055 6.3342 0.2358 14.9977 18.0918 -7.2263 2.4308 28.2953 31.0775 1.7073 4.5861 3 3 4 0.6069 0.6515 1 -0.0547 6.0949 -0.0901 4.0690 -9.6931 6.7045 4.6212 -2.9467 7.6144 4 5 4 1 1 1 6.1536 1 -14.0611 -2.2850 6,4986 -3.0059 -3.9866 -7.9075 -1.2850 7,4986 -2.0059 -2.9866 Обратный ход 4.5861-0.2358 -1.2850 -0.9195.7.4986 2.0059x1 b15-b14.x4-b13.x13-b12.x2 -0.9731-0.2043 -2.2850 -0.6559. 6.4986-0.2602. -3.0059 -3.98661.1473-0.2043 -1.2850 -0.6559 . 7.4986 0.2602 . -2.0059 -2.9866Вывод по решению В результате проделаннойработы мы решили систему из четыр х уравнений методом Гаусса и получили X1 -2.2850 X2 6.4986 X3 -3.0059 X4 -3.9866.4.Задача 44.1.Постановка задачиДано дифференциальное уравнение где a 0,5 b 0Начальное условие y 0 0Необходимо найти методомРунге- Кутта его решение на отрезке 0 0,3 c шагом h 0.14.1.РешениеДифференциальное уравнение решаем методом Рунге-Кутта повычислительной схеме приведенной в методическом указании по выполнению курсовойработы.Для вычислениявоспользуемся таблицей 4.1. включив вне вычисления правой части f x,y .Наиболее часто используетсяметод численного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. y f x,y , y x0 yМетод Рунге-Кутта четв ртого порядка.

В этом методе на одном шаге интегрирования при вычислении yi 1 yi Dyiприращение Dyiопределяется как сумма четыр х приращений взятых с различными весовымикоэффициентами Порядок заполнения таблицы 1. Записываем впервой строке таблицы данные правой части x0 ,y02. Вычисляем f x0,y0 ,умножаем на h изаносим в таблицу в качестве D1 0 .3. Записываем вовторой строке таблицы 4. Вычисляем умножаем на h и заносим в таблицу в качестве .5. Записываем втретьей строке таблицы 6. Вычисляем ,умножаем на h и заносим втаблицу в качестве .7. Записываем вчетв ртой строке таблицы 8. Вычисляем и умножаем на h заносим в таблицу в качестве D49. В столбец записываем числа 10. Суммируем числа стоящие в столбце делим на 6 и заносим втаблицу в качестве 0Вычисляем y1 y0 0.затем продолжаем вычисления в том же порядке принимаяза начальную точку x1,y1 Таблица 4.1. i x Y D hf x,y Dy 0 0.0 0.05000 0.05000 0.10000 0.0 0.02857 0.02757 0.05517 0.05714 0.05514 0.05517 0.05253 0.05714 0.11028 0.11034 0.05253 0.05504 1 0.10000 0.15000 0.15000 0.20000 0.05504 0.08060 0.07973 0.10445 0.05112 0.04938 0.04945 0.04333 0.10224 0.09876 0.09890 0.04333 0.05721 2 0.20000 0.25000 0.25000 0.30000 0.10087 0.12651 0.12187 0.14344 0.05128 0.04199 0.04257 0.03849 0.10256 0.08399 0.08514 0.03849 0.05169 3 0.30000 0.15256 Врезультате проделанной работы мы нашли решения дифференциального уравнения методомРунге-Кутта и получили следующие решения Y 0 0Y 0.1 0.05504Y 0.2 0.10087Y 0.3 0.15256СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Демидович Б.П Марон И.А. Основывычислительной математики М Наука, 1970.2. Кувыкина М.И. Методические указанияпо курсу информатика.

М. 1996.3. Фокс Д. Бейсик для всех. М. Энергоатомиздат , 1987.