Критерии устойчивости линейных систем

Курсовая работа поосновам радиоэлектроники по теме Критерийустойчивости линейных систем. Выполнил Зазимко С.А.Принял Котоусов А.С. Москва 1995 год Т Е М А Критерийустойчивости линейных систем.Устойчивость линейных систем. В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегдаимеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе нарезисторах имеются такие элементы в виде паразитных емкостей схемы илиусилительных приборов, индуктивности проводов и так далее.Эти реактивные элементысоздают дополнительные фазовые сдвиги и если на какой-либо частоте они в суммедают дополнительный угол в 180, то обратная связь превращается из отрицательнойв положительную и создаются условия для паразитной генерации.

Этообстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эффективностьприменения обратной связи, так как при больших значениях frac12 Ky Koc frac12 для устранения паразитной генерации требуютсяспециальные устройства фазокомпенсаторы и др уменьшающие крутизну ФЧХ вкольце обратной связи.

Однакооказывается, что введение в схему новых элементов приводит лишь к сдвигучастоты паразитной генерации в область очень низких или очень высоких частот. Итак, извыше сказанного следует, что применение обратной связи тесно связано спроблемой обеспечения устойчивости цепи. Для правильного построенияцепи и выбора ее параметров большое значение приобретают методы определенияустойчивости цепи. Рассмотрим некоторые из них.Алгебраические критерииустойчивости.Внастоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме,чем по содержанию.

В основе большинства из этих критериев лежит критерийустойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемуюцепь.Пустьлинейное однородное уравнение для цепи с постоянными параметрами задано в форме где х -ток, напряжение и так далее а постоянные коэффициенты - действительныечисла, зависящие от параметров цепи. Решениеэтого уравнения имеет вид где Ai - постоянные, а pi- корнихарактеристического уравнения 1 Условиеустойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращениядействия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние.

Для этогонеобходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободныетоки и напряжения были затухающими. Аэто означает, что корни уравнения 1 должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплекснымивеличинами с отрицательными действительными частями.Из этих представленийвытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем Cистема устойчива, если действительные части всехкорней характеристического уравнения отрицательны. Этофундаментальное положение было основано А.М.Ляпуновым, который в 90-х годахпрошлого века заложил основы теории устойчивости.

В связи с этим приведенныйвыше критерий называют критерием Ляпунова.Заметим,что левая часть характеристического уравнения 1 представляет собой не что иное, какзнаменатель передаточной функции цепи записанной в форме Такимобразом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсамипередаточной функции К р этой цепи. Отсюдаследует, что сформулированные выше условия отрицательности действительныхкорней равносильны следующему утверждению для устойчивости цепинеоб-ходимо, чтобы передаточная функция К р не имела полю-сов вправой полуплоскости комплексной переменной р. В техслучаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка,исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решениявопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Однако ееможно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения безопределения самих коэффициентов.

Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобыдействительные части всех корней уравнения c действительными коэффициентами и b0 gt 0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобыбыли положительными все определители D1, D2, Dm, составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме и т. д. Сформулированныйалгебраический критерий устойчи вости называют критерием Рауса - Гурвица.

При составленииопределителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степеньхарактеристического уравнения заменяют нулями.Поэтому для уравнения четвертойстепени получаются следующие определители Врезультате несложно видеть, что выполняется равенство Отсюда потеореме Гурвица следуют условия устойчивости в виде следующих неравенств Так, дляхарактеристического уравнения второй степени КритерийРауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданнымипараметрами вычисления относительно просты.

Недостатком этого критерияявляется ограниченность применения область применения критерия ограниченацепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточнаяфункция выражается через многочлены.Кроме того этот критерий не дает ясныхуказаний на то как из неустойчивой цепи сделать устойчивую.

Геометрические критерии устойчивости.Требование, чтобыпередаточная функция не имела полюсов в правой полуплоскости р s iw, т.е. в области, ограниченной полуплоскостьюбесконечно большого радиуса Rи осью iw см.рисунок , равносильно условию, что знаменатель выражения 2 не должен иметьнулей в указанной области или, что то же, функция не должна обращаться вединицу ни в одной из точек правой полуплоскости р. 1 Но Н р представляет собойпередаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношениенапряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 приразомкнутой системе, как это показано на рисунке 2. Для дальнейшегоанализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н р u i см. рисунок 3 . При этомкаждой точке р плоскости s,iw соответствует определенноезначение Н на плоскости u,iv. И любой замкнутый контурна плоскости перейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н. Еслиисходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, тосоответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н. Показанныйна рисунке 1 контур можно разбить на два участка прямую iw от yen до - yen и полуокружность бесконечнобольшого радиуса R. На первом участке, где s 0, р iw, функция H p обращается в функцию H iw .В соответствии с выражением этот участок преобразуется на плоскости H в линию, определяемую следующимсоотношением откуда В этихвыражениях аргументы переда- точных функций соответственно четырехполюсников . На второмрисунке контура см. рисунок 1 при R yen функция H p 0. Это вытекает из общеговыражения которое при frac12 p frac12 yen можно представить в виде под В подразумевается постоянный коэффициент, а p0i и pпi - соответственно нули иполюсы функции К р . Совершенноаналогично и функцию Н р при frac12 p frac12 yen можно представить в формеH p Apn-m где n и m - числасоответственно нулей и полюсов функции Н р . При n lt m и frac12 p frac12 yen модуль функции H p на полуокружности R yen равен нулю. Таким образом,полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат наплоскости Н, и для построения годографаН в виде замкнутого контурадостаточно знать поведение Н р на оси iw, т.е. знать АЧХ и ФЧХ цепи Ky iw ,Koc iw . Обходуконтура на рисунке 1 в положительном направлении против часовой стрелки соответствует обход годографа Н при изменении частоты от yen до - yen , т.е. также против часовойстрелки см. рисунок 3 . Следовательно,еслигодограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0 , топри замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае системанеустойчива.

Этоусловие называют критериемустойчивости Найквиста, а годограф H iw - диаграммой Найквиста.

Показаннаяна рисунке 3 диаграмма соответствует устойчивой системе.

Это видно из того, чтогодограф Н не охватывает точку 1,i0.Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0 lt w lt yen , а штриховой - частьконтура, соответствующая отрицательным частотам.

Так как функция u w четная, а v w нечетная относительно w, тооба годографа симметричны относительно действительной оси. Рисунок 3был построен для случая, когда при w 0 передаточная функция Н iw отлична от нуля этавозможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуютразделительные конденсаторы .Основное преимуществоданного метода удобство оперирования с АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи. Следует отметить, что присложной схеме устройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по нейсложно судить о попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа.

В подобныхслучаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста,основанный на подсчете числа пересечений годографом оси Uн w на участке 1, yen .Для устойчивости системы тогданеобходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок, либопересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое числораз.

Помимокритерия Найквиста известен ряд других геометрических методов исследованияустойчивости линейных систем с обратной связью, например критерий Михайлова икритерий пересечений.

Они широко применяются при анализе систем автоматическогорегулирования.

Данные критерии описаны в книге КотельниковВ.А Николаев А.М. Основы радиоэлектроники Л и т е р а т у р а .1. С.И. Баскаков Радиотехнические цепи и сигналы , 1983. М. Высшая школа.2. И.С. Гоноровский Радиотехнические цепии сигналы , 1986 М. Радио и связь. 1 Здесь и далее подразумевается, что Кос р и b обозначают одно и тоже - коэффициент усиленияобратной связи.