Оценка параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Исходные данные задачи * Построение интервального вариационного ряда распределения * Графическое изображение вариационных рядов * Анализ графиков и выводы * Расчет теоретической нормальной кривой распределения * Проверка гипотез о нормальном законе распределения * Исходные данные задачи Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая: 762 Необходимо построить интервальный вариационный ряд распределения. Построение интервального вариационного ряда распределения Max: 769 Min: 733 R=769-733=36 H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712 A1= x min - h/2=730,644 B1=A1+h; B2=A2+h Необходимо определить выборочные характеристики по вариационному ряду, а именно среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs). D i=(x i - x ср ) x ср = е xi mi/ е mi x ср = 751,7539 Выборочный центральный момент К -го порядка равен M k = ( xi - x)^k mi/ mi В данном примере: Центр момент 1 0,00 Центр момент 2 63,94 Центр момент 3 -2,85 Центр момент 4 12123,03 Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка: В данном примере: S^2= 63,94 Выборочное средне квадратическое отклонение: В данном примере: S= 7,996 Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам Ac = m3/ S^3; В данном примере: Ас = -0,00557 Ek = m4/ S^4 -3; В данном примере: Ek = -0,03442 Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений (n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2 Исходя из интервального ряда, медиана вычисляется по формуле: Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, предшествующего медианному.

В данном примере: Me= 751,646 Мода Мо соответствует значению признака с большей частотой. Для одно-модального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле Mo = a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1) где мо означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В данном примере: Mo = 751,49476 Так как Х ср , Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06% В нашем примере: Vs= 1,06% Необходимо построить гистограмму, полигон и кумуляту. Графическое изображение вариационных рядов Полигон и кумулята используются как для изображения дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов.

Чтобы построить графики необходимо записать вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот.

Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h Вариационные ряды изображают графически, для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S). Интервалы xi Wi Whi Wi/h Ai-bi 1 2 3 4 5 4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18 5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27 5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09 5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73 5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64 5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64 5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18 5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36 - 1,00 - Чтобы создать гистограмму относительных частот (частостей) на оси абсцисс необходимо отложить частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала.

Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Из гистограммы можно получить полигон того же распределения.

Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой. Необходимо проанализировать форму ряда распределения по виду гистограммы.