Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: = (1.1) сходятся при .Полагая =1 – t получим: = - = т.e. аргумент и входят в симетрично.Принимая во внимание тождество по формуле интегрирования почестям имеем Откуда = (1.2) 7 При целом b = n последовательно применяя(1.2) Получим (1.3) при целых = m, = n,имеем но B(1,1) = 1,следовательно: Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то 8 и в результате подстановки ,получаем полагая в(1.1) ,откуда ,получим (1.4) разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим = 2. Ãàìì à-ôóí ;êöèÿ ; 9 Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода G (a) = (2.1) сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем G (a) = и после замены , через и t через 1+t ,получим Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем: или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем: 10 откуда (2.2) заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям получаем рекурентною формулу (2.3) так как но при целом имеем (2.4) то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем 3. Производная гамма функции 11 Интеграл сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится. В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса.
Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса.
Таким образом , в области интеграл cходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при . Заметим что функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл : 12 сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо неравенство и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл в котором подынтегральная функция непрерывна в области , очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл 13 сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство . Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика.