Метод конечных разностей или метод сеток

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа. Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях.Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями.Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами.

И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции. Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть у нас есть бигармоническое уравнение : 2 U = f Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G . U = 0 Y x=0 b U xxx = 0 x=0 G U x = 0 x=a U xxx = 0 0 a X x=a U = 0 U = 0 y=0 y=b U y = 0 U xx + U yy = 0 y=0 y=b y=b Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.По нашей области G построим равномерные сетки W x и W y с шагами h x и h y соответственно . W x ={ x(i)=ih x , i=0,1 N, h x N=a } W y ={ y(j)=jh y , j=0,1 M, h y M=b } Множество узлов U ij =(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i) , y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается : W={ U ij =(ih x ,jh y ), i=0,1 N, j=0,1 M, h x N=a, h y M=b } Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j) . Пусть задана сетка W .Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=A U называется разностным или сеточным оператором.

Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные.Пусть W - сетка с шагом h введённая на R т.е. W={X i =a+ih, i=0, + 1, + 2 } Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Y i =Y(X i ) , X i из W , определяется по формулам : L 1 Y i = Y i - Y i-1 , L 2 Y i = L 1 Y i+1 h и называются соответственно левой и правой производной.

Используется так же центральная производная : L 3 Y i = Y i+1 - Y i-1 = ( L 1 + L 2 )Y i 2h 2 Разностные операторы A 1 , A 2 , A 3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n -ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например : Y xxi = Y xi+1 - Y xi = Y i-1 -2Y i +Y i+1 2 h h Y xxi = Y xi+1 -Y xi-1 = Y i-2 - 2Y i +Y i+ 2 2 2h 4h которые используются при апроксимации второй производной.

Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.Пусть нам дана система линейных уравнений : A U = f или в развёрнутом виде : M a ij U j = f i , i=1,2 M i=1 Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(a ij ) отличны от нуля (a ii <>0) записывается в следующем виде : i (k+1) M (k) a ij Y j + a ij Y j = f i , i=1,2 M j=1 j=i+1 (k) где Y j - j ая компонента итерационного приближения номера k . В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1) -ой итерации начинается с i=1 (k+1) M (k) a 11 Y 1 = - a 1j Y j + f 1 j=2 (k+1) Так как a 11 <>0 то отсюда найдём Y 1 . И для i=2 получим : (k+1) (k+1) M (k) a 22 Y 2 = - a 21 Y 1 - a 2j Y j + f 2 j=3 (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) Пусть уже найдены Y 1 , Y 2 Y i-1 . Тогда Y i находится из уравнения : (k+1) i-1 (k+1) M (k) a ii Y i = - a ij Y j - a ij Y j + f i (*) j=1 j=i+1 Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Y i размещается на месте Y i . Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все a ij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления.

Поэтому реализация 2 одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.

Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M . Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме.Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц : A = D + L + U где 0 0 0 0 a 12 a 13 a 1M a 21 0 0 0 a 23 a 2M a 31 a 32 0 0 . L = . U= . . a M-1M a M1 a M2 a MM-1 0 0 0 И матрица D - диагональная. (k) (k) (k) Обозначим через Y k = ( Y 1 ,Y 2 Y M ) вектор k -ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе : ( D + L )Y k+1 + UY k = f , k=0,1 Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем : ( D + L )(Y k+1 - Y k ) +AY k = f , k=0,1 Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда a ii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а a ij для i<>j - прямоугольные матрицы.

В этом случае Y i и f i есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы a ii . ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Пусть Y i =Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i . Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество.

На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение.

Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение. Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений. Так дифференциальное уравнение первого порядка : dU = f (x) , x > 0 dx можно заменить разностным уравнением первого порядка :.