Корень n-й степени и его свойства

¦ 1Корень n-й степени и его свойства 0. ¦ ¦ 1Пример 1. 0 ¦ ¦ 1 Решим неравенство 0 х 56 0>20 ¦ ¦ 1 Это неравенство равносильно неравенству 0 х 56 0-20>0. 1Так как функция 0 ¦ ¦f(x)=х 56 0-20 1непрерывна, можно воспользоваться методом интервалов. 0 ¦ ¦ 16 7| 16 7| 0 ¦ ¦ 1Уравнение 0 х 56 0-20=0 1имеет два корня 0 : 7 ? 1 20 и - 0 7? 1 20 0 . 1Эти числа разби- 0 ¦ ¦ 1вают числовую 0 1прямую на три промежутка. 1Решение данного неравенства - 0 ¦ ¦ 16 7| 0 16 7| 0 ¦ ¦ 1объединение двух из них 0 : (- 74 0; - 7? 1 20 0 7 0) 7 0( 7? 1 20 0 7 0; 74 0) ¦ ¦ 1 0 ¦ ¦ 1Пример 2. 7 03 7| 0 5 7| 0 ¦ ¦ 1 Сравним числа 7 ? 0 2 7 0 и 7 ? 0 3 ¦ ¦ 3 7| 0 5 7| 0 ¦ ¦ 1Представим 0 7? 0 2 7 0и 7? 0 3 1в виде корней с одним и тем же показателем: 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 13 7| 0 115 7| 0 1 15 7| 0 15 7| 0 115 7| 0 15 7| 0 ¦ ¦ 7? 0 12 7 0 = 7 ? 0 12 55 1= 0 7? 132 7 0 1а 0 7 ? 0 13 = 0 7? 0 13 53 0 = 7 ? 0 27 1из неравенства 0 ¦ ¦ 15 7| 0 15 7| 0 3 7| 0 5 7| 0 ¦ ¦ 32 > 27 1следует, что 0 7? 032 7 0 и 7 ? 0 27 1,и значит, 0 7? 0 2 7 0 > 7 ? 0 3 ¦ + + ¦ 1 Иррациональные уравнения. 0 ¦ ¦ 1 0 ¦ ¦ 1 Пример 1. 7 | 0 ¦ ¦ 1 Решим уравнение 7 ? 1 x 52 1 - 5 = 2 0 ¦ ¦ 1Возведем в квадрат обе части уравнения и получим х 52 1 - 5 = 4, отсюда 0 ¦ ¦ 1следует, что х 52 1=9 х=3 или -3. 0 ¦ ¦ 1Проверим, что полученные части являются решениями уравнения. 0 ¦ ¦ 1Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные 0 ¦ ¦ 1равенства 7 | | 0 ¦ ¦ 7? 1 3 52 1-5 = 2 и 0 7? 1 (-3) 52 1-5 = 2 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 1Пример 2. 7 | 0 ¦ ¦ 1Решим уравнение 7 ? 1 х = х - 2 0 ¦ ¦ 1Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х = х 52 1 - 4х + 4 0 ¦ ¦ 1После преобразований приходим к квадратному уравнению х 52 1 - 5х + 4 = 0 0 ¦ ¦ 1корни которого х=1 и х=4. Проверим являются ли найденные числа реше- 0 ¦ ¦ 1ниями данного у _ра .внения.

При подстановке в него числа 4 получаем вер- 0 ¦ ¦ 1ное равенство 7 ? 14 0 = 4-2 1т 0. 1е. 4 - решение данного уравнения.

При подста- 0 ¦ ¦ 1новке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой 1. Следователь- 0 ¦ ¦ 1но, 1 не является решением уравнения ; говорят, что это посторонний 0 ¦ ¦ 1корень, полученный в результате принятого способа решения . 0 ¦ ¦ 1О Т В Е Т : Х=4 0 ¦ + + ¦ 1Степень с рациональным показателем 0. ¦ ¦ 1Пример 1. 0 ¦ ¦ 13 7| 1 7 14 7| 14 7| 0 ¦ ¦ 1Найдем значение выражения 8 51/3 1 = 7 ? 1 8 = 2 ; 81 53/4 = 7 ? 1 81 53 = 1 ( 7? 181) 53 1= 3 53 1= 0 ¦ ¦ 1=27 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 1Пример 2. 0 ¦ ¦ 1Сравним числа 2 5300 1 и 3 5200 1 . Запишем эти числа в виде степени с ра- 0 ¦ ¦ 1циональным показателем : 0 ¦ ¦ 12 5300 1 = (2 53 1) 5100 1 = 8 5100 1 ; 3 5200 1 = (3 52 1) 5100 1 = 9 5100 0 ¦ ¦ 1Так как 8<9 получаем : 0 ¦ ¦ 18 5100 1 < 9 5100 1 т.е. 5 12 5300 1 < 3 5200 1 . 0 ¦¦ ¦L.