Вопросы по теории вероятностей 1. + Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. 2. + Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей. 3. + Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения. 4. + Непрерывные случайные величины.Функция и плотность распределения. 5. + Функция распределения; квантиль и а -процентная точка распределения. 6. + Формула полной вероятности и теорема гипотез. 7. + Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия; и среднеквадратичное отклонение. 8. - 9. + Равномерное распределение, его числовые характеристики. 10. + Биномиальное распределение, распределение Пуассона. 11. + Нормальное (Гаусовское) распределение, стандартные нормальные распределения. 12. Стандартная нормальная случайная величина. 13. + Независимые и зависимые случайные величины: ковариация, корреляция, коэффициент корреляции. 14. + Теоремы о числовых характеристиках. 15. + Закон больших чисел, неравенства и теоремы Чебышева, Бернулли. 16. + Центральная предельная теорема теории вероятностей. 17. Выборки, объем выборки. 18. Состоятельные, не смешенные и эффективные оценки; оценивание среднего значения и дисперсии. 19. + Доверительные интервалы. • + Теорема о повторении опытов. • • Задача_1 • Задача_2 • Задача_3 • Задача_4 • Задача_5 • Задача_6 • Задача_7 • Задача_8 • Задача_9 Ответ на билет 1 X – случайная величина. x – значение случайной величины. - непрерывная случайная величина Дискретная случайная величина – можно пересчитать. Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1). Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888). Вернуться к вопросам Ответ на билет 2 Сумма событий и произведение событий. А,В,… G - события Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=A B …. G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример: Допустим идет стрельба по мишени А 1 - попадание при первом выстреле А 2 - попадание при втором выстреле S=A 1 +A 2 (хотя бы одно попадание) Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
S=ABC…G= Пример: А 1 - промах при первом выстреле А 2 - промах при втором выстреле А 3 - промах при третьем выстреле (не одного попадания) Теорема сложения вероятностей.
Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A) P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) S=S 1 +S 2 +…+S n P(S)=P(S 1 )+P(S 2 )+…+P(S n ) Следствие: Если событие S 1 , S 2 , …, S n образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1. Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу . (пример - монетка имеющая орел и орешко) Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле: Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B) Условие зависимости события А от события В: P(A|B) P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место: P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B) Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
P(A 1 A 2 …A n )=P(A 1 )P(A 2 )…P(A n ) Пример: на монете выпадет орел 2 раза S=A ор A ор S=P 2 (A)=(1/2) 2 =1/4 Вернуться к вопросам Ответ на билет 3 Закон распределения случайных величин Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое. Большие буквы - случайные величины.
Малые буквы - их возможные решения.
Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x 1 , x 2 , …, x n В результате опыта : Обозначим вероятность соответствующих событий через P i , так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности p i (i=1,2…, n), то есть в точности указаны решения вероятности p i каждого события x i Этим будет установлен закон случайной величины x i . Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.
Простейшей формой записи законов распределения является таблица: X x1, x2, …, xn P p1, p2, …, pn Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно). Вернуться к вопросам Ответ на билет 4 Плотность и функция распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением: a. Найти коэффициент а b. Найти плотность распределения F(x) c. Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5<x<3)=? d. Построить график функций F(4)=1 -> a4=1, a=0,25 - два способа решения.
Вернуться к вопросам Ответ на билет 5 Функция распределения.