Вопросы и ответы по высшей математике

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО КУРСУ «ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» 1. Что такое множество? Приведите примеры. Как определяется пустое множество? Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является частью любого множества.Вот что говорит о пустом множестве П.С.Александров: Пустое множество, по определению, не содержит элементов; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.

Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, т.к может быть какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Полярный круг. 2. Какие Вы знаете способы задания множеств? Возможны различные способы задания множеств. Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в это множество.

Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в атласе, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.Но этот способ применим только к конечным множествам, но и то не ко всем. Пример: Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком. В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства.

Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые обладают данным свойством.Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т.е всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Пример: Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот это множество слонов.Итак, множества можно задавать двумя способами: 1. Перечислением элементов множества; 2. Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы. 3. Какие множества называются конечными, бесконечными? Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.

Основной характеристикой конечного множества является число его элементов.Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций. Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.

Пример: Множество натуральных чисел является бесконечным. 4. Дайте определение подмножества множества А. Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В . То, что множество А является подмножеством множества В обозначают так . Таким образом, подмножеством данного множества В является и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. 5. Какие множества называются равными Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Пример: Равными являются все пустые множества.

Равенство множеств А и В записывают в виде А=В. Отношение "=" называется отношением равенства. 6. Какие операции над множествами Вы знаете? Дайте определение одной из операций.Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В. Объединение множеств обозначается Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечение множеств обозначается Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А . Разность двух множеств обозначается AB Дополнением множества А в В называется разность АВ, если В является подмножеством множества А. Дополнение множества обозначается С А. 7. Что такое объединение множеств? Приведите пример.

Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В. Объединение множеств обозначается 8. Что такое разность множеств? Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А . Разность двух множеств обозначается AB 9. Что такое пересечение множеств? Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечение множеств обозначается 10. Что называется дополнением к множеству? Дополнением множества А в В называется разность АВ, если В является подмножеством множества А. Дополнение множества обозначается С А. 11. Сформулируйте свойство коммутативности операции объединения множеств. 12. Сформулируйте свойство коммутативности операции пересечения множеств. 13. Сформулируйте свойство ассоциативности операции объединения множеств. 14. Сформулируйте свойство ассоциативности операции пересечения множеств. См. предыдущие ответы на вопросы 15. Что называется событием в теории вероятностей? Событием называется всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или что оно не происходит (в настоящем, прошедшем или в будущем) при наличии комплекса условий. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B, C. 16. Что такое множество элементарных событий? Для каждого испытания существует множество всех возможных элементарных событий.

Такое множество называется пространством элементарных событий (данного испытания). Элементарные события взаимно исключают друг друга, и в результате данного опыта обязательно произойдет одно из них. 17. Что называется случайным событием в теории вероятностей? Если событие при реализации определенного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным.

Случайные события представляют различные возможные исходы испытания. 18. Дайте определение невозможному событию.

Невозможным называется событие, которое не может произойти в этом опыте.

В нашем примере таковым является событие из ящика извлечен синий шар (таких шаров просто нет). 19. Что значит выражение «элементарные исходы, благоприятствующие событию А»? Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом.Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. 20. Что называют суммой событий А и В? Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. 21. Что называют произведением событий А и В? Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях. 22. Дайте определение события, противоположного событию А. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах. Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь.События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные. 23. Какие события называются несовместными? Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появления другого в этом же опыте. 24. Какие события образуют полную группу событий? 25. Сформулируйте классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным.При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. 26. Сформулируйте аксиоматическое определение вероятности. 27. Какие теоремы теории вероятностей Вы знаете? ­ Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. ­ Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место ­ Условная вероятность ­ Формулы полной вероятности 28. Что называется условной вероятностью? Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 29. Что такое случайная величина? Cлучайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

Два типа случайных величин — дискретные и непрерывные. 30. Что такое дискретная случайная величина? Cм. вопрос 29. Дискретная – прерывной. 31. Как можно задать закон распределения дискретной случайной величины? 32. Какие числовые характеристики случайных величин Вы знаете? Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, мода, медиана моменты распределений. 33. Как можно найти математическое ожидание дискретной случайной величины? Что оно характеризует? Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания. 34. Что такое дисперсия дискретной случайной величины? Как можно ее вычислить? Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. 35. Что называют средним квадратическим отклонением? Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии 36. Что такое статистические данные? 37. Что такое генеральная совокупность, выборка? Генеральная совокупность - все мыслимые значения (измерения, наблюдения), описывающие поведение исследуемого объекта или явления.

Выборка из генеральной совокупности - ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление.

Количество этих значений называется объемом выборки. 38. Что называют объемом выборки и генеральной совокупности? См. вопрос 37 39. Каким образом могут быть представлены статистические данные? Под статистическими данными понимают числовые или нечисловые значения контролируемых параметров (признаков) исследуемых объектов, которые получены в результате наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов и так далее) определенного числа признаков, у каждой единицы, вошедшей в исследование.

Способы получения статистических данных и объемы выборок устанавливают, исходя из постановок конкретной прикладной задачи на основе методов математической теории планирования эксперимента. 40. Как найти среднее значение для несгруппированных данных? 41. Как найти среднее значение для дискретного вариационного ряда? 42. Как найти среднее значение для интервального вариационного ряда? 43. Что называют модой? Как найти моду для интервального вариационного ряда? Мода (от лат. modus — мера, способ, правило) — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины.

Мода — значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины. 44. Что такое медиана в математической статистике? Как найти медиану для интервального вариационного ряда? В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины 45. Какие меры рассеивания Вы знаете? Приведите формулу для вычисления одной из них. Мера рассеивания, т. е. отклонения от средних значений при дисперсионном анализе - статистическом методе, позволяющем анализировать влияние отдельных факторов на исследуемую переменную.

Дисперсия - (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике наиболее употребительная мера рассеивания, отклонения случайных значений от среднего.

Вариантность - статистичекая мера рассеивания, характеризующая распределение измеряемых величин вокруг среднего арифметического. 46. Что такое размах вариации? Мера разброса значений выборки наблюдений или распределения, рассчитываемая как разность между максимальным и минимальным значениями переменной. 47. Что такое дисперсия признака? Как вычисляется дисперсия? 48. Что называют средним квадратическим отклонением для вариационного ряда? . 49. Что такое коэффициент вариации? Что он позволяет оценить? Коэффициентом вариации случайной величины называется отношение стандартного (среднеквадратичного) отклонения этой величины к ее математическому ожиданию.