Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля

Средняя общеобразовательная школа № 3 Реферат по математике на тему: Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля.Выполнил: Шварц В.И. 9Б класс Руководитель: Шагалина Д.Г. Межгорье 2005 Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля. Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем данного числа – это геометрическое определение модуля. ; ; Расстояние между точками плоскости обозначается с помощью знака модуля и равно: , где ; Абсолютная величина вектора (модуль вектора) – длина вектора. Обозначается . Если известны координаты вектора , то модуль вектора находится по формуле: . Если известны координаты начала и конца вектора , A(a;b); B(c;d), то модуль вектора можно найти по формуле: Модуль единичного вектора равен 1, модуль нулевого вектора равен 0. Геометрический смысл модуля удобно использовать для решения некоторых уравнений. 6 = А ; х = А 9 ; х1 = 15 ; х2 = –3. –3 0 6 15 С А В При решении более сложных уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: { Свойства модуля: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . Для решения уравнений, содержащих два и более выражений со знаком модуля, сначала записываем уравнение без знаков модуля.

Так как каждое выражение, записанное со знаком модуля, может быть как отрицательным, так и неотрицательным, то при его записи без знаков модуля надо рассмотреть оба случая отдельно.

Для уравнений, содержащих два выражения со знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций без знаков модуля.Затем обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному уравнению.

Но можно упростить решение таких уравнений с помощью метода интервалов. 2х – 12 =0 ; х=6 ; 6х+48 =0 ; х= –8. Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<–8 ; –8 х 6 ; х 6. В промежутке х<–8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.Получим уравнение: – (2х–12) – (6х+48) = 160; х = –24,5 к промежутку х<–8, значит является корнем уравнения.

Аналогично находим корни в других промежутках.Тест В приведённом ниже тесте четыре задания на решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Используются задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения Москвы и Волгограда в разные годы. К каждому заданию приводится подробное решение с его геометрической интерпретацией. 1. Найдите наименьшее целое решение неравенства <2 Решение: Исходя из определения модуля ={ } данное в условии неравенство равносильно следующему: –2<x–10,5<2 Двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств Покажем решение системы на числовой оси 8,5 9 12,5 Теперь на интервале (8,5; 12,5), где пересеклись множества, выберем наименьшее число.

Это 9. Ответ: 2. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства >6 Решение: Данное неравенство равносильно следующим: x+3.5>3 или x+3.5<6. Отсюда, x>2.5 или x<–5. Покажем решение данных неравенств на числовой оси –10 –9,5 2,5 На интервалах (– ; –9,5) и (2,5; + ) наибольшее целое отрицательное число –10. Ответ: –3. Решите уравнение x2+ –20=0 Решение: Найдём корни уравнения 2+ –20=0, = –5 или = 4. Так как 0, то = 4, следовательно, х = 4. Ответ: 4. Найдите наименьшее целое решение уравнения Решение: Представим это уравнение в виде системы уравнений: { Так как = х при х 0. 2х=9>0, то есть х > –4,5. Ответ: –4 Графики функций, содержащих выражение под знаком модуля. Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля.

Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки.

График строится в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох. 1. y = y=0.5х 2. у = = ; у = 0,5х–3 3. у = 2х –4 =0, х = 2; 6 +3х =0, х = –2. В результате ось Ох разбивается на три промежутка. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.

В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке. В области определения график представляет непрерывную прямую. 4. у = у = х2 –2 Литература. 1. Математика. Справочник школьника.Москва 1995г. Филологическое общество "Слово". 2. Справочник по математике. Москва 1995г. "Просвещение". 3. Математические кружки в 8-10 классах.

Москва 1987г. "Просвещение". 4. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета.№42, 2003 год. Издательский дом "Первое сентября". 5. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета.№41, 2002 год. Издательский дом "Первое сентября". ={.