Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов линейная алгебра 1.Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы. Примеры. 2.Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства ассоциативности и коммутативности матриц. Примеры. 3.Приведение матриц к ступенчатому виду методом Гаусса. Элементарные преобразования над строками матрицы.Пример.

Ранг матрицы. 4.Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи. Расширенная матрица системы.Пример. 5.Однородные и неоднородные системы уравнений. В каком случае они имеют единственное решение? Пример. 6.Решение однородной и неоднородной систем методом Гаусса. Пример. 7.Однородные системы и их свойства. Эквивалентные системы. 8.Свободные и несвободные переменные однородной системы. Частное и общее решение.

Пример. 9.Совместные системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример. 10.Вектор решения линейной системы уравнений. Общее и частное решение неоднородной системы уравнений. Основные свойства решений. 11.Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Ее математическая модель. 12.Определитель матрицы. Его порядок.Понятие определителя применительно к матрицам второго и третьего порядков.

Алгебраическое дополнение элемента.Разложение определителя по строке или столбцу. 13.Сформулировать свойства определителя. 14.Какую матрицу называют обратной? Условие ее существования. 15.Вычисление определителя с использованием метода Гаусса. 16.Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений и методом Гаусса. 17.Даны матрицы А=и В=. Найти АВ - ВА. 18.Найти ранг матрицы: A =. 19.Найти ранг матрицы . 20.Исследовать сколько решений может иметь система уравнений: . 21.Найти общее решение однородной системы: . 22.Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: . 23.Вычислить определитель матрицы det A, где А = методом Гаусса. 24.Что называется линейным пространством? Элемент линейного пространства.

Какое множество функций на отрезке [a, b] образует пространство C[a, b]? 25.Свойства коммутативности и ассоциативности сложения векторов. 26.Арифметическое пространство Rn. Что называют компонентами вектора? 27.Определите понятие подпространства Н в пространстве V. Приведите примеры линейных подпространств в линейном пространстве V, в пространстве Rn. 28.Определите понятие линейной комбинации векторов u и v линейного пространства. Какая система векторов называется линейно независимой? 29.Запишите свойства линейно зависимой системы векторов и линейно независимой системы векторов. 30.Приведите примеры линейно независимых векторов и функций в линейном пространстве. 31.Базис линейного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора u в базисе е1, е2 … еn. Примеры стандартных базисов в прстранстве Rn. 32.Размерность линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Размерность линейного подпространства W линейного пространства 33.Линейные операции над свободными векторами в координатной форме в произвольном линейном пространстве. 34.Как определяется матрица перехода от старого базиса b к новому c? 35.Какими свойствами обладает матрица перехода от старого базиса b к новому c? 36.Сформулируйте теорему о разложении любого вектора линейного пространства по базису. 37.Запишите формулы преобразования координат вектора x линейного пространства L при переходе от старого базиса b к новому c. 38.Как определяется скалярное произведение двух векторов? Какое пространство называется евклидовым? Неравенство Коши-Буняковского. 39.Ортогональные векторы линейного пространства. 40.Понятие нормы вектора. Каким аксиомам подчиняется норма вектора? 41.Ортогональная система векторов. Является ли она линейно зависимой? 42.Понятие ортогонального и ортонормированного базисов линейного пространства. 43.Какую матрицу называют матрицей Грама и как вычисляются ее элементы? 44.Что называется процессом ортогонализации? 45.Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. 46.Составьте матрицу Грама для системы векторов е1=(1, -1, 2), е2=(1, 1, 1), е3=(1, 0, 1) трехмерного пространства. 47.Докажите, что для любых двух векторов а и с векторное уравнение a + x = c относительно x имеет решение, и при этом единственное. 48.Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=-2с1-3с2-2с3, b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с49.Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число. 50.Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t (-,) , a,b R, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число. 51.Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число? 52.Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции на число? 53.Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число. 54.Докажите, что dim V2 = 2, dim V3 = 3. 55.Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а1=(-4, 2, 3), а2= (-3, 5, 1), а3 = (1 7, 3), а4= (12 5,4) линейно независимой? 56.Выясните, образуют ли векторы а1=(1, 0, 0, 0), а2= (1, 1, 0, 0), а3 = (1,1, 1, 0), а4= (1,1,1, 1) базис в линейном арифметическом пространстве R4? 57.Может ли матрица А =быть матрицей перехода от одного базиса трехмерного пространства к другому? 58.Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода от нового базиса к старому является треугольной? Симметрической? 59.Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство? 60.Дайте понятие линейного оператора, действующего в линейном пространстве L. Приведите примеры. 61.Какая матрица называется матрицей линейного оператора? 62.Какую матрицу имеет нулевой оператор, действующий в пространстве L? Какой вид у матрицы тождественного оператора, действующего в пространстве L? 63.Сформулируйте теорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора А, действующего в пространстве L? 64.В каком случае совпадают матрицы двух различных линейных операторов? 65.Какое соответствие существует между квадратными матрицами порядка n и линейными операторами, действующими в n-мерном линейном пространстве? 66.Напишите зависимость, связывающую матрицы Аb и Ае в различных базисах b и e линейного пространства. 67.Определение характеристического уравнения матрицы А. 68.Дайте определение понятия собственное число линейного оператора А. Какой вектор называется собственным вектором оператора? Как его найти? 69.Что означает понятие «собственное подпространство», отвечающее данному собственному значению? 70.Составьте характеристическое уравнение для оператора А, если его матрица А=. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора А. 71.Скольким собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор? 72.Известно, что собственные значения 1, 2 n линейного оператора попарно различны.

Что можно сказать о линейной зависимости соответствующей им системы собственных векторов? 73.Известно, что базис е состоит из собственных векторов оператора А. Что можно сказать о матрице оператора в этом базисе? 74.Когда матрица оператора А подобна некоторой диагональной? 75.Пусть 1, 2 n - собственные значения оператора А. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А2, А-1. 76.Дайте определение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А. Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А в евклидовом пространстве? 77.Какая матрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору А с матрицей А в ортонормированном базисе? 78.Дайте определение самосопряженного оператора.

Приведите пример самосопряженного оператора. 79.Какова матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе? 80.Что можно сказать об операторе А, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе является симметрической? 81.Каковы корни характеристического уравнения самосопряженного оператора? 82.Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n? 83.Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора? 84.Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид? 85.Докажите, что (А+ В)* = А* + В* и (АВ)* = В* А*. 86.В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе. 87.Какая матрица называется ортогональной матрицей и чему равен ее определитель? 88.Свойства ортогональных матриц. 89.Что такое квадратичная форма? Дайте понятие матрицы квадратичной формы. 90.Запишите квадратичную форму в координатах в некотором базисе. 91.Что такое канонический вид квадратичной формы? Найти ее для x2 + xy + y2. 92.Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Неотрицательно определенной? 93.Сформулируйте критерий Сильвестра. 94.Запишите закон инерции для квадратичной формы. 95.Что представляет собой метод итераций? 96.Дайте определение Гессиана. 97.Составьте Гессиан для функции f ( x1 xn )= x12 +x 1 x 2+ + x 1x n . 98.Приведите квадратичную форму х12 - 4х1х2 к каноническому виду методом выделения квадратов. 99.Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду? 100.Как изменяется характеристическое уравнение матрицы при ортогональном преобразовании квадратичной формы? 101.Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А = положительно определенной? 102.Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа? 103.Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху + 2уz +2хz. 104.Какой ранг может иметь положительно определенная форма от n переменных? 105.Запишите матрицу перехода от базиса е к базису е, если е1= е1+ е2+7е3, е2=(7/6) е1- е2, е3=- е1+ е2+ е3. 106.Является ли линейным преобразование Ах = (6х1 - 5х2 2х2, х3 - х1)? 107.Чему равно скалярное произведение векторов в арифме.