Функция, и её свойства:  Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.  Переменная х - независимая переменная или аргумент.  Переменная у - зависимая переменная  Значение функции - значение у, соответствующее заданному  значению х.  Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.  Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.  Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)  Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)  Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)< f(х2)  Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2) Способы задания функции: • Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. • На практике часто используется табличный способ задания функции.
При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.
Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов. Элементарные функций и их свойства: 1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число.Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат 2) Прямая пропорциональность - функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности. Cвойства функции y=kx: 1. Область определения функции - множество всех действительных чисел 2. y=kx - нечетная функция 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой 3) Линейная функция - функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx. Свойства функции y=kx+b: 1. Область определения - множество всех действительных чисел 2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна. 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой Графиком функции является прямая . 4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности. Свойства функции y=k/x: 1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля 2. y=k/x- нечетная функция 3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥). Графиком функции является гипербола. 5) Функция y=x2 Свойства функции y=x2: 1. Область определения - вся числовая прямая 2. y=x2 - четная функция 3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает 4. На промежутке (-¥;0] функция убывает Графиком функции является парабола. 6) Функция y=x3 Свойства функции y=x3: 1. Область определения - вся числовая прямая 2. y=x3 -нечетная функция 3. Функция возрастает на всей числовой прямой Графиком функции является кубическая парабола 7) Степенная функция с натуральным показателем - функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число.
При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше. Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8 В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n. Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9 В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу. 8) Степенная функция с целым отрицательным показателем - функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число.
При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4. Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7 В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х. Пусть n- четное число, например n=2. Свойства функции y=x-2: 1. Функция определена при всех x¹0 2. y=x-2 - четная функция 3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух. 9) Функция y=Öх Свойства функции y=Öх: 1. Область определения - луч [0;+¥). 2. Функция y=Öх - общего вида 3. Функция возрастает на луче [0;+¥). 10) Функция y=3Öх Свойства функции y=3Öх: 1. Область определения - вся числовая прямая 2. Функция y=3Öх нечетна. 3. Функция возрастает на всей числовой прямой. 11) Функция y=nÖх При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх. При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Öх. 12) Степенная функция с положительным дробным показателем - функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr: 1. Область определения- луч [0;+¥). 2. Функция общего вида 3. Функция возрастает на [0;+¥). 13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь. Свойства функции y=x-r: 1. Обл. определения - промежуток (0;+¥) 2. Функция общего вида 3. Функция убывает на (0;+¥) 14) Квадратичная функция - функция, заданная формулой y=ax 2 + bx + c где a ¹ 0 , a, b, c – некоторые числа, x – переменная.
Свойства функции y=ax 2 + bx + c: 1. D(y) = R. 2. Если b ¹ 0, c ¹ 0, то функция y=ax 2 + bx + c ни четная, ни нечетная. 3. Точки пересечения с осями координат: с осью Ox: если y = 0, то ax 2 + bx + c = 0, откуда x1 и x2 – корни квадратного уравнения. с осью Oy: если x = 0, то y = c 4. Функция убывает на (-¥;xb], возрастает на [xb;+¥) если ax 2 + bx + c > 0 Функция убывает на [xb;+¥), возрастает на (-¥;xb] если ax 2 + bx + c > 0 5. Наибольшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a < 0 достигается в вершине и равно yb , наименьшего нет. 6. Наименьшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a > 0 достигается в вершине и равно yb , наибольшего нет. 7. Графиком функции является парабола. 15) Свойства функции у = sinx и ее график: Свойства: 1. D(y)=R. 2. Е(у)=[-1;1]. 3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin(-x) = - y/R = -sinx, где R - радиус окружности, у - ордината точки (рис). 4. Т = 2л - наименьший положительный период.
Действительно, sin(x+p) = sinx. 5. Точки пересечения с осями коор¬динат: с осью Ох: sinx = 0; х = pn, nÎZ; с осью Oy: если х = 0, то у = 0, 6. Промежутки знакопостоянства: sinx > 0, если xÎ(2pn; p + 2pn), nÎZ; sinx < 0, если хÎ( p + 2pn; 2p+pn), nÎZ. Знаки синуса в четвертях у > 0 для углов а первой и второй четвертей. у < 0 для углов ее третьей и четвер¬той четвертей. 7. Промежутки монотонноти: y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], n& #206;z и убывает на каждом из промежутков [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], nÎz . 8. Точки экстремума и экстремумы функции: xmax = p/2 + 2pn, nÎz; ymax = 1; ymax = -p/2 + 2pn, nÎz; ymin = -1. 9. Графиком является синусоида (рис) 16) Свойства функции у = cosx и ее график: Свойства: 1. D(y) = R. 2. Е(у)=[-1;1]. 3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса три¬гонометрического угла cos(-a) = x/R = cosa на тригонометричес¬ком круге (рис) 4.Т = 2p - наименьший положительный период.
Действительно, cos(x+2pn) = cosx. 5. Точки пересечения с осями координат: с осью Ох: cosx = 0; х = p/2 + pn, nÎZ; с осью Оу: если х = 0, то у = 1. 6. Промежутки знакопостоянства: cosx > 0, если хÎ(-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nÎZ; cosx < 0, если хÎ(p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nÎZ. Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях: x > 0 для углов a первой и четвертой четвертей. x < 0 для углов a второй и третей четвертей. 7. Промежутки монотонноти: y = cosx возрастает на каждом из промежутков [-p + 2pn; 2pn], nÎz и убывает на каждом из промежутков [2pn; p + 2pn], nÎz . 8. Точки экстремума и экстремумы функции: xmax = 2pn, nÎz; ymax = 1; ymax = p + 2pn, nÎz; ymin = -1. 9. Графиком функции является синусоида, которая полученна сдвигом гра-фика y = sinx вдоль оси Ox на p/2 влево т.к y = cosx = sinx(x + p/2) (рис). 17) Свойства функции у = tgx и ее график: Свойства: 1. D(y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ). 2. E(y)=R. 3. Функция y = tgx - нечетная 4. Т = p - наименьший положительный период. 5. Промежутки знакопостоянства: tgx > 0 при хÎ(pn; p/2 + pn;), nÎZ; tgx < 0 при xÎ(-p/2 + pn; pn), nÎZ. Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке. 6. Промежутки монотонноти: y = tgx возрастает на каждом из промежутков (-p/2 + pn; p/2 + pn), nÎz . 7. Точки экстремума и экстремумы функции: нет. 8. x = p/2 + pn, nÎz – вертикальные асимптоты 9. Графиком y = tgx является тангенсоида (рис). 17) Свойства функции у = ctgx и ее график: Свойства: 1. D(y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ) 2. E(y)=R. 3. Функция y = ctgx – нечетная. 4. Т = p - наименьший положительный период. 5. Промежутки знакопостоянства: ctgx > 0 при хÎ(pn; p/2 + pn;), nÎZ; ctgx < 0 при хÎ(-p/2 + pn; pn), nÎZ. Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке. 6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (pn; p + pn), nÎZ. 7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет. 8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на p/2 и умножением на (-1) (рис) Литераура: “Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г. (стр. 122 – 25, 288) “Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г. (стр. 30 - 34) “Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров, А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев, С . И . Шварцбурд, 1993 г. (стр. 20 - 27).