Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. ( Трисекция угла ) Россия. г. Пенза Е. И. Терёшкин. Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной . Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е. Чертеж 1. Чертеж 2. Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность.Из точки C радиусом CM опишем окружность. . . . . . По теореме Пифагора находим . Из точки радиусом опишем окружность.
Из точки через точку проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку . , . . - диаметры большого круга.Проводим линию , она пересекает малый круг в точке . Из точки , через точку проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку . Соединяем точки и . . . Рассмотрим треугольник чертеж 2. . По теореме косинусов . Проведем линию до пересечения с . По теореме Пифагора Из точки проводим линию . подобен , значит Рассмотрим , т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет средняя линия, а значит По теореме косинусов , значит но , значит линия проходит через точку , т.е. через центр квадрата.
Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки . Из точек любым радиусом описываем окружность.Чертеж 3. Чертеж 4. Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого ( чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов ( чертеж 3) и острых углов ( чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки и . Из точек радиусом описываем окружности.
Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки . Соединяем точки М с точками . В местах пересечений линий М и F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN. Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А ставим точку . Треугольники АМ и А N равны по двум катетам.
Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС – общая.
Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.