рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теория вышка 1 сем.

Теория вышка 1 сем. - раздел Математика, 1. Матрицы. Линейные Операции Над Ними И Их Свой-Ства. Матр...

1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свой-ства. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Матрицы равны между собой, если равны все их соот-ветствующие элементы. Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной. Матрица, все элементы которой, кроме элементов глав-ной диагонали равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной.Обознача-ется буквой Е. Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треуголь-ной. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называ-ется нулевой. 2. Умножение матриц. Транспонирование.

Свойства.Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк дру-гой матрицы. где 4. Матрица, полученная заменой каждой ее строки столб-цом с тем же номером, называется матрицей транспо-нированной, к данной. 3. Определители матриц. Свойства определителей.

Миноры и алгебраические дополнения. 1. 2. 3. Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают про-изведение элементов на главной диагонали. Свойства: 1. Определитель не изменится, если его строки заме-нить столбцами, и наоборот. 2. При перестановке двух параллельных рядов опре-делитель меняет знак. 3. Определитель, имеющий два одинаковых или про-порциональных ряда, равен нулю. 4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя. 5. Если элементы какого-либо ряда представляют со-бой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих опреде-лителей. 6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элемен-тов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. 7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополне-ние. 8. Сумма произведения элементов одного ряда на ал-гебраические дополнения параллельного ряда рав-на нулю. 4. Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения.

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на ал-гебраическое дополнение какой-либо строки. 5. Обратная матрица. Достаточное условие суще-ствования обратной матрицы. 1. 2. 3. Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена. 6. Элементарные преобразования матриц. Ранг мат-рицы. Вычисление ранга матрицы. 1. Перестановка местами 2 параллельных рядов мат-рицы. 2. Умножение элементов ряда матрицы на число от-личное от нуля, отличное от нуля. 3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы со-ответствующих элементов параллельного ряда, ум-ноженных на одно и тоже число.

Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого поряд-ка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы. 7. Решение линейных уравнений. Решение невырож-деных систем.

Метод Гаусса. Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить. Формула Крамера.Подсчитать определитель матрицы А. Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом. 8. Решение произвольных систем. Теорема Кронеке-ра-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совмест-на тогда и только тогда, когда ранг расширенной мат-рицы системы равен рангу основной матрицы.Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор.

Не-известные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а ос-тальные называются свободными и переносятся в пра-вую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы. 9. Однородные система уравнений. Фундаменталь-ная система решений. Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение.Если ранг матрицы меньше числа неизвест-ных, то система имеет бесчисленное множество реше-ний. Для того, чтобы система имела ненулевые реше-ния, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю. 10. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Размерность и базис линейного пространства. Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действи-тельных чисел.На этом множестве введем две опера-ции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. V; x, y, z, … V Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством. Элементы линейного пространства называются векто-рами, обозначаются , , . Существует единствен-ный нулевой элемент, для каждого элемента существу-ет единственный противоположный.

Линейная зависимость и независимость системы векто-ров. Пусть имеется n векторов. Составим линейную комбинацию: , если система n век-торов – линейно-зависима.Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой. Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая сис-тема n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n Система этих n линейно-независимых векторов называ-ется базисом линейного пространства.Рассмотрим сис-тему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по ба-зису, а числа называют координатами вектора. Разложение любого вектора в выбранном базисе - един-ственно. 11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразо-вание координат вектора при переходе к новому ба-зису. n – мерное пространство. Vn – базис, состоящий из n векторов. В пространстве есть базисы Введем матрицу перехода от к . 12. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами.Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом про-странстве введем еще одну операцию.

Она будет удов-летворять следующим аксиомам. 1. 2. 3. 4. Указанная операция называется скалярным произведе-нием векторов. N – мерное линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, назы-вается Евклидовым пространством. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.Длина вектора удовлетворяет следующим условиям: 1. , если 2. 3. - неравенство Коши-Буня 4. - неравенство треугольника 13.Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними. 1. 2. 3. 4. 14. Векторное произведение векторов и его свойства. Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.Векторным произведением вектора на вектор на-зывается вектор , который: 1. Перпендикулярен векторам и . 2. Имеет длину, численно равную площади параллело-грамма, образованного на векторах и . , где 3. Векторы , и образуют правую тройку векто-ров. Свойства: 1. 2. 3. 4. 15. Смешанное произведение векторов и его свойст-ва. Смешанное произведение записывают в виде: . Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором.

Смешанное произ-ведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства. 1. Смешанное произведение не меняется при цикличе-ской перестановке сомножителей: 2. Смешанное произведение не изменится при переме-не местами векторного и скалярного произведения. 3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей. 4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компла- нарны.

Три вектора называются компланарными, если резуль-тат смешанного произведения равен нулю. 16. Линейные преобразования пространства. Мат-рица линейного преобразования. Связь между коор-динатами образа и прообраза.Рассмотрим линейное пространство V, в котором каж-дому элементу x, в силу некоторого закона поставлен элемент этого же пространства. - прообраз - образ Каждому прообразу соответствует единственный образ. Каждый образ имеет единственный прообраз.

Линейное преобразование пространства, при котором существует взаимнооднозначные соответствия. Блективное преобразование – называется линейным, если выполняются 2 условия. 1. 2. Рассмотрим n-мерное линейное пространство Для того, чтобы задать линейные преобразования в этом пространстве достаточно задать это преобразова-ние для базисных векторов.Матрица линейного преобразования. Пусть F – линейное преобразование линейного про-странства, переводящая базис в базис . Т.к. - базис, то верны соотношения А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства.

Связь между координатами образа и прообраза. В базисе вектор имеет координаты Линейное преобразование – матрица линейного опера-тора. Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот. Если имеется квадратная матрица задано линейное преобразование пространства. 17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах.Т – матрица перехода от e к e’ , то: Если линейный оператор имеет в базисе невырожден-ную матрицу Т, матрица этого оператора в любом дру-гом базисе не будет вырождена. 18. Характеристическое уравнение линейного опе-ратора. Собственные векторы линейного оператора и их свойства.

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе ( ) оператор имеет матрицу В λ – произвольное число ≠0 Е – единичная матрица Если характеристически многочлен линейного опера-тора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же , умноженный на некоторое к. к – собственное число оператора А= Каждый собственный вектор имеет единственное соб-ственное число. 19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. Векторное уравнение прямой.Положение прямой можно задать по точке и направ-ляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направ-ляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 че-рез r и r0. Тогда уравнение прямой запишется в виде: где t – скалярный множитель (параметр). Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой.S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой. со-единяет M0 с произвольной точкой М. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2) В качестве направляющего вектора можно задать век-тор Следовательно: , тогда Общее уравнение прямой. Уравнение прямой как линию пересечения двух плос-костей. Рассмотрим: Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то на-правляющий вектор запишется как векторное произве-дение: Угол между прямыми. ; 20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.Уравнение плоскости, проходящей через заданную точ-ку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим век-тор . При любом рас-положении точки М на плоскости Q , по-этому . Общее уравнение плоскости. • Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0) • Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox. • Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0. • Если А=В=0 то уравнение примет вид плос-кость параллельна плоскости Oxy. • Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy. Уравнение плоскости, проходящей через три точки К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3) Возьмем на плоскости точку P (x;y;z). Составим векторы: Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны: Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки: ; ; Нормальное уравнение плоскости. 21. Угол между прямой и плоскостью.

Расстояние от точки до плоскости. Прямая L: Пусть φ – угол между плоскостью и прямой. Тогда θ – угол между и . Найдем , если , т.к. Расстояние от точки до плоскости.Дано: M0 (x0;y0;z0) Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М1(x1;y1;z¬1) - произволь-ная точка плоскости) на направление нормального век-тора Если плоскость задана уравнением: то расстояние до плоскости находится по формуле: 22. Прямая на плоскости.

Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Уравнение с угловым коэффициентом. k= tg α – угловой коэффициент. Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллель-но оси ох. Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу. Общее уравнение прямой.A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. • Если В=0, то уравнение имеет вид или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку • Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффи-циентом . • Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох. • Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0). Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении. т М (х0;у0). Уравнение прямой записывается в виде . Подставим в это уравнение точку М Решим систему: Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

К (х1;у1) М (х2;у2) Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b) Подставим точки в уравнение прямой: Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. М0 (х0;у0). Возьмем произвольную точку М (х;у). Т.к. , то Нормальное уравнение прямой. Уравнение прямой можно записать в виде: Т.к. ; , то: Угол между прямыми.Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами Требуется найти угол между прямыми: 23. Эллипс.

Определение. Вывод канонического урав-нения. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF1 + MF2 = 2a Т.к. То получаем Или 24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.Гиперболой называется множество всех точек плоско-сти, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2=±2a, 25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директри-сы. Расстояние между фокусом и директрисой называ-ется параметром параболы и обозначается через р>0. Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению MF=MN. 26. Поверхности вращения.

Поверхность, образованная вращением некоторой пло-ской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, назы-вается поверхностью вращения.Пусть некоторая кри-вая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде: Найдем уравнение поверхности, образованной враще-нием кривой L вокруг оси Oz. Возьмем на поверхности точку M (x;y;z). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси oz, и обозначим точки пересечения ее с осью oz и кривой L соответственно O1 и N. Обозначим координаты точки N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N являются радиусами одной и той же окружности.

По-этому O1M = O1N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1N=|y1|. Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z. Следовательно – искомое урав-нение поверхности вращения, ему удовлетворяют ко-ординаты любой точка М этой поверхности и не удов-летворяет координаты точек, не лежащих на поверхно-сти вращения. 27. Поверхности 2-го порядка.

Эллипсоид, Гипербо-лоид. Эллипсоид. Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, па-раллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, оп-ределяется двумя уравнениями: Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет. Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия пересече-ния вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоско-сти z=c и z=–c касаются поверхности.Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде: Линия пересечения есть эллипс с полуосями.

Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид назы-вается трехосным. Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x2+y2+z2=R2 Однополостный гиперболоид.Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим ли-нию пересечения, уравнения которой имеют вид. Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1=b. При возрастании |h| полуоси будут уве-личиваться.

Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пере-сечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение ко-торой x=0. Эта линия пересечения описывается уравне-ниями: Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом. Двуполостный гиперболоид.Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.

Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверх-ности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с). Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде: Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|. У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, со-стоящую из двух полостей, имеющих форму двух неог-раниченных чаш. Поверхность называется двуполост-ным гиперболоидом. 28. Поверхности 2-го порядка.

Параболоиды. Эллиптический. При пересечении поверхности координатами плоско-стями Oxz и Oyz получается соответственно параболы и . Таким образом, поверхность, оп-ределяемая уравнением, имеет вид выпуклой, беско-нечно расширяющейся чаши. Гиперболический. Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кри-вую которая при всех h&#8800;0 является гиперболой.При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения рас-падается на пару пересекающихся прямых: При пересечении поверхности плоскостями, парал-лельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться пара-болы, ветви которых направлены вверх. 29. Поверхности 2-го порядка.

Конусы и цилиндры. Конус. Поверхность, образованная прямыми линиями, прохо-дящими через данную точку Р и пересекающими дан-ную плоскую линию L (не проходящую через Р) назы-вается конической поверхностью или конусом.При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей. - уравнение конуса Цилиндр.

Поверхность, образованная движением прямой L, кото-рая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кри-вую К, называется цилиндром. При этом кривая К на-зывается направляющей цилиндра, а прямая L – обра-зующая. - уравнение цилиндра 30. Исследование кривой второго порядка по ее урав-нению без произведения координат.Уравнение вида Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 всегда опреде-ляет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу (при А*С=0), при этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эл-липс (окружность), для гиперболы – в пару пересекаю-щихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второй степени с двумя неизвестны-ми: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 Коэффициент В с произведением координат преобразо-вывает уравнение путем поворота координатных осей. 31. Определение предела числовой функции.

Одно-сторонние пределы. Свойства пределов.Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn&#8800;x0), сходящейся к х0 (т.е. ), последовательность соответствую-щих значений функции f(xn), n€N, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличается от числа А. Односторонние пределы.

Считается, что х стремится к х0 любым способом: оста-ваясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0. Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого &#949;<0 существует число &#963;=&#963;(&#949;)>0 такое, что при х€(x0-&#963;;x0), выполняется нера-венство |f(x)-A1|<&#949; Пределом функции справа называется Свойства пределов. 1) если предел функ-ция равна этому числу плюс б.м. &#949; – сколь угодно малое число |f(x)-a|=&#945;; f(x)=a+ &#945; 2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число 3) предел произведения равен произведению пределов 4) константы можно выносить за знак предела 5) 32. Замечательные пределы. 1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через Х. Пусть 0 < X < &#960;/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда Разделим все на и получим: Т.к. , то по признаку существования пре-делов следует . 2 замечательный предел.

Пусть х&#8594;&#8734;. Каждое значение х заключено между дву-мя положительными целыми числами: Если x&#8594;&#8734;, то n&#8594;&#8734;, тогда По признаку о существовании пределов: 33. Непрерывные функции и их свойства. Точка раз-рыва функций и их классификация.Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некото-рой окрестности этой точки.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функ-ции в этой точке и он равен значению функции в этой точке: Это означает: - функция определена в точке х0 и в ее окрестности; - функция имеет предел при х&#8594;х0 - предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство. Это означает, что при нахождении предела непрерыв-ной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0 Точки разрыва функции – это точки в которых нару-шается непрерывность функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конеч-ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы) и При этом, если: - А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва; - А1&#8800;А2 то точка х0 называется точкой конечного раз-рыва. |A1 – A2| называется скачком функции.Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односто-ронних пределов (слева или справа) не существует, ли-бо равен бесконечности. 34. Производная от функции.

Дифференцируемость функции. Дифференциал. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю. Производная функции f(x) есть некоторая функция f ’(x), произведенная из данной функции.Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется диффе-ренцированием. Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обо-значается dy (или df(x) ). Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал незави-симой переменной. 35. Правила дифференцирования суммы, произведе-ния, частного функции.

Производные сложных функ-ций. Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному ар-гументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Производная обратной функции равна обратной вели-чине производной данной функции. 36. Логарифмическое дифференцирование.Логарифмическое дифференцирование - в некоторых случаях целесообразнее функцию сначала прологариф-мировать, а результат продифференцировать.

Однако производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием. Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции, при усло-вии V=const. 37. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и &#8734; / &#8734;, который основан на применении производных.Правило Лопиталя, при 0 / 0. Пусть функции f(x) и &#966;(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: . Пусть &#966; &#8242;(x) &#8800; 0 в окрестности точки x0 Если существует предел , то Применим к функциям f(x) и &#966;(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда , где с лежит между x0 и х. При x&#8594;x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу: Так как , то . Поэтому (предел отношения двух бесконечно малых равен преде-лу отношения их производных, если последний сущест-вует) Правило Лопиталя, при &#8734; / &#8734;. Пусть функции f(x) и &#966;(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности Если существует предел , то Неопределенности вида 0&#8729;&#8734; ; &#8734;-&#8734; ; 1&#8734; ; &#8734;0 ; 00 сводятся к двум основным. Например, 0&#8729;&#8734; Пусть f(x)&#8594;0, &#966;(x)&#8594;&#8734; при х&#8594;х0 38. Дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная.

Тогда дифференциал dy=f &#8242;(x)dx есть также функция х, можно найти дифференци-ал этой функции.

Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал. Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответ-ствующей степени дифференциала независимой пере-менной.Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее диф-ференциала соответствующего порядка к соответст-вующей степени дифференциала независимой пере-менной. 39. Исследование условий и построение графиков. - найти область определения функции - найти точки пересечения графика с осями координат - найти интервалы знака постоянства - исследовать на четность, нечетность - найти асимптоты графика функции - найти интервалы монотонности функции - найти экстремумы функции - найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

– Конец работы –

Используемые теги: Теория, вышка, сем0.06

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теория вышка 1 сем.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ДОКЛАД по дисциплине Теория игр и исследование операций На тему: Теория игр, графический метод в теории игр
МИНОБРНАУКИ РОССИИ... ФГБОУ ВПО ВОСТОЧНО СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙИ УПРАВЛЕНИЯ...

Теория химического строения органических соединений. Электронная природа химических связей. Предпосылки теории строения. Теория химического строения. Изомерия
Органические вещества в своем составе наряду с другими элементами всегда содержат углерод. Изучение соединений углерода — их строения, химических… Из всех химических элементов только углерод образует такое большое число… По образованию оксида углерода (IУ) при горении или по обугливанию вещества при нагревании легко установить…

Кейнсианская, монетариская теория и теория рациональных ожиданий
Рекомендации кейнсианской теории принимали в Соединенных Штатах администрации и демократов, и республиканцев. Иных взглядов придерживался лауреат… Но экономическая мысль не стоит на месте, спустя некоторое время Роберт… Приведены основные отличия и сходства. Сходства и различия. Сравним кейнсианскую теорию и монетаризм, показав их в…

Теория бухгалтерского учета: конспект лекций ЛЕКЦИЯ № 1. Теория бухгалтерского учета, его сущность и значение в системе управления
ЛЕКЦИЯ Теория бухгалтерского учета его сущность и значение в системе... ЛЕКЦИЯ Предмет метод и принципы бухгалтерского... ЛЕКЦИЯ Учетная политика организации Учредители и...

Теориям самоорганизации - синергетика, теория изменений и теория катастроф
В основе системного анализа лежит принцип системности, а в основе теорий самоорганизации - принцип развития.Оба принципа взаимно дополняют друг… Обратный процесс - ассимиляция общей теорией систем, системным анализом и… То есть фактически речь идет о механистической картине мира и механицизме как методе, подходящем к миру как…

Кейнсианская, монетариская теория и теория рациональных ожиданий
Рекомендации кейнсианской теории принимали в Соединенных Штатах администрации и демократов, и республиканцев. Иных взглядов придерживался лауреат… Но экономическая мысль не стоит на месте, спустя некоторое время Роберт… Приведены основные отличия и сходства. Сходства и различия. Сравним кейнсианскую теорию и монетаризм, показав их в…

Теория анархии и теория правового государства применительно к России
Границы, в пределах которых каждый может двигаться без вреда для других, определяются законом, подобно тому как граница двух полей определяется… История нашей страны – это история мучительного искания. Многие русские мыслители пытались глобально осмыслить историю их глубоко любимой Родины.Из этого получались мысли о…

Теориям самоорганизации - синергетика, теория изменений и теория катастроф
В основе системного анализа лежит принцип системности, а в основе теорий самоорганизации - принцип развития.Оба принципа взаимно дополняют друг… Обратный процесс - ассимиляция общей теорией систем, системным анализом и… То есть фактически речь идет о механистической картине мира и механицизме как методе, подходящем к миру как…

ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ОМД КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА»
ДОНБАССКИЙ государственный... технический университет... В М ДАНЬКО...

Эволюционная теория Дарвина и теория креационизма
На сайте allrefs.net читайте: " Эволюционная теория Дарвина и теория креационизма"

0.031
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам