Ошибки при проверке статистических гипотез

	Рис.4–1

Выбирая окончательно в качестве рабочей одну из гипотез ­– нулевую или альтернативную, мы используем следующую логическую схему (алгоритм):

 

 

 

 

 

Не забудем, что отвергая Њ₀, мы принимаем альтернативную Њ₁ и наоборот. Пусть у нас уже есть правило, в соответствии с которым мы либо принимаем основную гипотезу Њ_0, либо отвергаем её.

Как уже говорилось, контрольной цифрой является уровень значимости – вероятность a наблюдать то, что мы имеем после эксперимента, в случае если гипотеза Њ₀ верна.

Пусть, к примеру, мы знаем вероятность данного наблюдения при истинности основной гипотезы и она равна 0.04. Мы вправе принять эту гипотезу – вероятность ошибиться меньше, чем a=0.05.

Конечно, приняв нулевую гипотезу, мы рискуем ошибиться. Степень риска можно найти очень просто – вероятность отбросить верную нулевую гипотезу (совершить ошибку первого рода или a–ошибку) составляет 5 %.

Но ведь можно совершить и другую ошибку ­– принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле неверна (ошибка второго рода или b–ошибка). Величина эта зависит, прежде всего, от решающего правила ­– критерия принятия гипотез. Поэтому величину (1 –b) принято называть мощностью критерия.

С определением вероятности ошибки второго рода дело обстоит не так просто – ее приходится вычислять. В первом приближении можно считать, что нам одинаково “вредны” ошибки как первого, так и второго рода. Более актуальным является вопрос ­ – а как их избежать или хотя бы снизить вероятность их появления? К сожалению, в задачи курса не входит рассмотрение таких вопросов.

Достаточно знать, что в прикладной статистике существуют методы повышения эффективности критериев проверки статистических гипотез.

Кроме того, нельзя упускать из виду и "простой рецепт" снижения вероятностей ошибок как первого, так и второго рода – надо иметь побольше наблюдений.

Так, например, имеются достаточно надежные методы определения так называемых “критических” значений СВ. Эти значения для задач рассмотренных выше типов (с биномиальным распределением вероятностей) позволяют сразу же оценить возможность отбрасывания нулевой гипотезы ­– по данным о числе испытаний и числе наблюдений данного события.

Если число испытаний монетки на симметрию составляет N=12 и выдвинуты гипотезы Њ₀: (p=q); Њ₁: (p#q), то критическими значениями наблюдений при граничной вероятности a=0.05 являются S=2 и S=10. Это означает, что при наблюдаемом числе гербов £ 2 или ³ 10 нулевая гипотеза может быть отвергнута.

Обратим также внимание на явную зависимость наших решений от числа наблюдений – нам не удалось отвергнуть гипотезу о симметрии монетки при всего одном гербе (из восьми бросаний), но вполне обосновано удается сделать это при 0, 1 и даже 2 – при увеличении числа наблюдении или, на языке статистики, увеличении объема выборки.