Оценка параметров дискретных распределений

В ряде случаев работы с некоторой дискретной СВ нам удается построить вероятностную схему событий, приводящих к изменению значений данной величины. Иными словами ­– закон распределения нам известен, но неизвестны его параметры. И наша задача ­– научиться оценивать эти параметры по данным наблюдений.

Начнем с наиболее простого случая. Пусть у нас есть основания считать, что случайная величина X может принимать целочисленные значения на интервале [0…k…n] с вероятностями

P(X=k)=p^k(1– p)^n-k,

т.е. распределена по биномиальному закону. Так вот, – единственный параметр p этого распределения нас как раз и интересует.

Примером подобной задачи является чисто практический вопрос о контроле качества товара.

Пусть мы решили оценить качество одной игральной кости из партии, закупленной для казино. Проведя n=200 бросаний мы обнаружили появлений цифры 6 в X = 25 случаях.

Выдвинем нулевую гипотезу Њ₀: кость симметрична, то есть p= 1/6.

Вроде бы по наблюдениям частота выпадения цифры 6, составившая 25/200 не совпадает с гипотетическим значением вероятности 1/6. Но это чисто умозрительное, дилетантское заключение.

Теория прикладной статистики рекомендует вычислить значение непрерывной СВ

, {5–7} т.е. использовать z–критерий (см. {5–3}).

В нашем примере наблюдаемое значение Z составит около –1.58. Следовательно, при пороговой вероятности в 5% условие ½Z½< 1.96 выполняется и у нас нет оснований отбрасывать нулевую гипотезу о симметрии игральной кости.

Отметим, что z–критерий позволяет решать еще одну важную задачу – о достаточном числе испытаний.

Пусть нам требуется проверить качество товара – некоторых изделий, каждое из которых может быть годным или негодным (бракованным). Пусть допустимый процент брака составляет p=5%. Ясно, что чем больше испытаний мы проведем, тем надежнее будет наш статистический вывод ­– браковать партию товара (например, – 10000 штук) или считать её пригодной.

Если мы провели n=500 проверок и обнаружили X=30 бракованных изделий, то выдвинув гипотезу Њ₀: p=5% , мы найдем выборочное значение критерия по {5–7}. Оно составит около 1.03, что меньше “контрольного” 1.96 . Значит, у нас нет оснований браковать всю партию.

Но возникает вопрос – сколько проверок достаточно для принятия решения с уровнем значимости в 5%? Для этого достаточно учесть допустимый процент брака (т.е. задать p), указать допустимое расхождение между ним и наблюдаемым процентом брака в выборке (d= p–X/n) и воспользоваться выражением

{5–8}

Если мы примем d=±0.02, то получим ответ – вполне достаточно 456 проверок, чтобы убедиться в том, что реальный процент брака отличается от допустимого не более чем на 2%.