рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Условия параллельности и перпендикулярности

Условия параллельности и перпендикулярности - Лекция, раздел Математика, КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Прямой И Плоскости В Пространстве.   Для Того, ...

прямой и плоскости в пространстве.

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

 

 

Поверхности второго порядка.

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

 

 

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

 

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

 

1) - эллиптический цилиндр.

 

 
 

 


 

2) - гиперболический цилиндр.

 
 

 

 


2) x2 = 2py – параболический цилиндр.

 

 
 

 

 


Поверхности вращения.

 

 

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращенияс осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

 

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

 

1) - эллипсоид вращения

2) - однополостный гиперболоид вращения

3) - двуполостный гиперболоид вращения

4) - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

 

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

 

 
 

 

 


Трехосный эллипсоид:

 

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

 

 
 

 

 


Однополостный гиперболоид:

 

 
 

 


Двуполостный гиперболоид:

 
 


 

Эллиптический параболоид:

 

 

 
 

 


Гиперболический параболоид:

 

 
 

 


Конус второго порядка:

 

 
 

 


Цилиндрическая и сферическая системы координат.

 

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

 

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.

 

 

z

 

 

М

 

r

j h

 

0 q x

r

M1

 

y

 

ОМ1 = r; MM1 = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

 

Определение. Цилиндрическими координатамиточки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

 

Определение. Сферическими координатамиточки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

 

 

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

 

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

 

h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = .

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

На сайте allrefs.net читайте: "Лекции по математике часть1. КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Условия параллельности и перпендикулярности

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

К У Р С
В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И Краткий конспект лекций     ЧАСТЬ 1     &nbs

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные. Теорема.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:  

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору

Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.   Существует система координат (не обя

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
  Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой т

Уравнение прямой в пространстве по точке и
направляющему вектору.   Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки.   Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2

Условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.   На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. &nbs

Условия параллельности и перпендикулярности
прямых в пространстве.   Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие ко

Связь сферической системы координат с
декартовой прямоугольной.   В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:  

Собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования.   Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор

Приведение квадратичных форм к каноническому
виду.   Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое прео

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}   Общий элементпоследовательности является функцией от n. xn = f(n)

Бесконечно большие функции и их связь с
бесконечно малыми. Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует тако

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.
  Определение. Два комплексных числа и

А Ì В
  Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножествоммножества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги