Приближённое решение краевых задач математической физики методом сеток
Московский Институт Электронной Техники
(Технический Университет)
Кафедра Высшей математики - I.
Курсовая работа
По курсу «Численные методы» на тему
Приближённое решение краевых задач
Математической физики методом сеток».
Вариант 131.
Выполнил: Мельников А.Ю.
Группа: МП-31
Руководитель: Земсков В.Н.
Москва, 2010 г.
Методические указания и постановка задачи.
1. Тема.
Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток».
Цель работы.
3. Порядок работы. 1) Познакомиться с основными понятиями метода сеток и способами численного… 2) Классифицировать уравнение, проверить корректность постановки задачи и дать её физическую интерпретацию.Теоретические сведения.
Линейное уравнение второго порядка в частных производных в общем случае имеет вид: (1*) где a, b, c, d, e, g, f - известные функции от x и y. Если a, b, c, d, e, g – константы, то (1*) называется уравнением…Решение задачи.
(1) Классификация задачи. Данное уравнение является уравнением эллиптического типа. Его можно интерпретировать как описание распределения…Приложение.
Определение параметра сходимости.
>> definition(100,100,100,0.001)
Optimal value of the 'mu' is 1.008000
Решение основной задачи методом верхней релаксации на сетке 
:
>> main(100,100, 1.008, 10^6)
Quality of approximation is 1.951255e-008
Таблица полученных значений 
:
| y=0 | y=0.2B | y=0.4B | y=0.6B | y=0.8B | y=B | |
| x=0 | ||||||
| x=0.1A | -0.1978 | -0.2967 | -0.2967 | -0.1978 | ||
| x=0.2A | -0.3762 | -0.5643 | -0.5643 | -0.3762 | ||
| x=0.3A | -0.5178 | -0.7767 | -0.7767 | -0.5178 | ||
| x=0.4A | -0.6087 | -0.9131 | -0.9131 | -0.6087 | ||
| x=0.5A | -0.6400 | -0.9601 | -0.9601 | -0.6400 | ||
| x=0.6A | -0.6087 | -0.9131 | -0.9131 | -0.6087 | ||
| x=0.7A | -0.5178 | -0.7767 | -0.7767 | -0.5178 | ||
| x=0.8A | -0.3762 | -0.5643 | -0.5643 | -0.3762 | ||
| x=0.9A | -0.1978 | -0.2967 | -0.2967 | -0.1978 | ||
| x=A |
Рассмотрим зависимость ошибки численного решения данной системы от числа разбиений сетки:
| Размерность сетки | 200x200 | 100х100 | 50х50 | 25x25 |
| Макс. ошибка | 1.220494e-009 | 1.951255e-008 | 3.114850e-007 | 4.950129e-006 |
Таким образом, при увеличении разбиения сетки ошибка численного решения уменьшается.
Решение основной задачи методом Зейделя на сетке :
>> main(100,100, 1, 10^6)
Quality of approximation is 1.953085e-008
Как видно, разница между ошибками метода Зейделя и метода верхней релаксации минимальна, следовательно результаты решения будут практически идентичны.
Решение основной задачи методом матричной прогонки на сетке :
>> progonka(100,100)
Таблица полученных значений :
| y=0 | y=0.2B | y=0.4B | y=0.6B | y=0.8B | y=B | |
| x=0 | ||||||
| x=0.1A | -0.1978 | -0.2967 | -0.2967 | -0.1978 | ||
| x=0.2A | -0.3762 | -0.5643 | -0.5643 | -0.3762 | ||
| x=0.3A | -0.5178 | -0.7767 | -0.7767 | -0.5178 | ||
| x=0.4A | -0.6087 | -0.9131 | -0.9131 | -0.6087 | ||
| x=0.5A | -0.6400 | -0.9601 | -0.9601 | -0.6400 | ||
| x=0.6A | -0.6087 | -0.9131 | -0.9131 | -0.6087 | ||
| x=0.7A | -0.5178 | -0.7767 | -0.7767 | -0.5178 | ||
| x=0.8A | -0.3762 | -0.5643 | -0.5643 | -0.3762 | ||
| x=0.9A | -0.1978 | -0.2967 | -0.2967 | -0.1978 | ||
| x=A |
Решение модельной задачи методом верхней релаксации на сетке :
>> model(100,100,1.008,10^6)
Погрешность вычислений равна 1.311621e-006
Зависимость ошибки численного решения модельной задачи методом явной схемы от числа разбиений сетки:
| Размерность сетки | 200x200 | 100х100 | 50х50 | 25x25 |
| Макс. ошибка | 3.139004e-007 | 6.200455e-006 | 2.477144e-005 | 9.795736e-005 |
Таким образом, при увеличении разбиения сетки ошибка численного решения уменьшается.