Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональной ЭВМ в среде MATLAB. Преимущество использования этой среды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.
3. Порядок работы.
1) Познакомиться с основными понятиями метода сеток и способами численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу.
2) Классифицировать уравнение, проверить корректность постановки задачи и дать её физическую интерпретацию.
3) При решении эллиптического уравнения написать разностную схему 2-го порядка аппроксимации и решить задачу итерационным методом Зейделя и верхней релаксации как поточечно, так и блочно, т.е. с использованием алгоритма прогонки. Исследовать влияние параметра релаксации на сходимость итерационного процесса при различной величине относительной точности решения задачи.
4) При решении эллиптического уравнения исследовать сходимость решения по сеткам: h, h/2, h/4 или h, h/4, h/16. Проанализировать скорость сходимости итерационного процесса в зависимости от вида граничного условия (1-го или 2-го рода).
5) Для своего типа уравнения обязательно решение модельной задачи, т.е. задачи, аналитический ответ которой известен.
6) Используя таблицы и графические возможности MATLAB оформить результаты. Для уравнения Пуассона, например, необходимо привести 3-х мерный график полученного решения U(x,y), двухмерный параметрический график U(x) при различных y. Аналогично для U(y) при различных x (не более 5-10 кривых). При необходимости построить график изолиний. Привести таблицу значений численного решения U(x,y) (примерно 10х10 ячеек) и табличное исследование сходимости от шага сетки, а также параметра сходимости.
7) Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам.