Частотные характеристики систем [2,5].

Для линейных систем, принимая в качестве сигнала на входе системы собственную функцию x(kDt) = B(w)exp(jwkDt), мы вправе ожидать на выходе системы сигнал y(kDt) = A(w)exp(jwkDt). Подставляя эти выражения в разностное уравнение системы (11.1.2), получаем:

a_m A(w)exp(jwkDt-jwmDt) =b_n B(w)exp(jwkDt-jwnDt).

A(w)exp(jwkDt)a_m exp(-jwmDt) = B(w)exp(jwkDt)b_n exp(-jwnDt).

A(w)a_m exp(-jwmDt) = B(w)b_n exp(-jwnDt). (11.4.1)

Отсюда, частотная передаточная функция системы (частотная характеристика при нормировке к а_о=1):

H(w) = A(w)/B(w) =b_n exp(-jwnDt)[1+a_m exp(-jwmDt)]. (11.4.2)

Нетрудно убедиться, что подстановкой z = exp(-jwDt) в выражение передаточной функции H(z) (11.3.2) может быть получено абсолютно такое же выражение для частотной характеристики, т.е.:

H(w) º H(z) при z = exp(-jwDt).

При обратном преобразовании H(z) во временную область с использованием выражений (11.3.4-5) отсюда следует также, что частотная характеристика системы представляет собой Фурье-образ ее импульсной реакции, и наоборот. При Dt = 1:

H(w) =h(n) exp(-jwn), (11.4.3)

h(n) = (1/2p)H(w) exp(jwn) dw. (11.4.4)

В общем случае H(w) является комплексной функцией, модуль которой R(w) называется амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ), а аргумент j(w) - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

A(w) = |H(w)| = .

j(w) = arctg(Im H(w)/Re H(w)).

Физический смысл частотной характеристики системы достаточно прост. Произвольный сигнал на входе системы может рассматриваться в виде суммы гармонических составляющих с различным набором амплитуд и начальных фазовых углов. Амплитудно-частотной характеристикой системы устанавливаются коэффициенты усиления системой (коэффициенты передачи) этих частотных составляющих, а фазочастотной характеристикой - сдвиг фаз этих частотных составляющих в выходном сигнале относительно начальных фаз во входном сигнале.

Основные свойства частотных характеристик систем:

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам Dt функция H(w) является периодической. Период функции H(w) равен частоте дискретизации входных данных F = 1/Dt. Первый низкочастотный период (по аргументу w от -p/Dt до p/Dt, по f от -1/2Dt до 1/2Dt) называется главным частотным диапазоном передачи сигнала. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста ±w_N, w_N = p/Dt. Частота Найквиста определяет предел частотной разрешающей способности системы по обработке данных.

3. Для систем с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nDt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики систем обычно задаются только на интервале положительных частот 0-w_N главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.