Реферат Курсовая Конспект
Спиновые матрицы как операторы - раздел Математика, Глава 9 Еще Системы С Двумя Состояниями ...
|
Глава 9 ЕЩЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ состояниями
Спиновые матрицы Паули
Спиновые матрицы как операторы
З. Решение уравнений для двух состояний
Состояния поляризации фотона
§ 5. Нейтральный K-мезон *
Обобщение на системы с N состояниями
Повторить: гл. 33 (вып. 3) «Поляризация»
Спиновые матрицы как операторы
Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто употребляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии |y|(t)>, изменяющемся во времени, то можно, как мы это делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t+Dt оказалась бы в состоянии |i>:
Матричный элемент <i|U(t, t+Dt) |j> — это амплитуда того, что базисное состояние |j> превратится в базисное состояние |i> за время Dt. Затем мы определяли Нij при помощи
и показывали, что амплитуды Ci(t)=<i|y(t)> связаны дифференциальными уравнениями
Если амплитуды Ci записать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:
Далее, матричные элементы Hij — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде <i|H|j>; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:
Мы видим, что —i/h <1|H|j> — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние |j> за время dt «генерирует» состояние |i>. (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)
Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» <i|, поскольку (9.17) справедливо при любом |i>, и записать это уравнение просто в виде
Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать
В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н|j> или в Н|y> называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки (^), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать
. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение, (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от вектора состояния |y> равняется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Н на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду <j|y> того, что y окажется в состоянии j, и просуммированному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на ih) от состояния |y> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом Н на вектор состояния |y>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.
Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния |y>. Кроме того, левая сторона ihd/dt — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на ih». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение
Ih(d/dt)=
Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.
Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |y> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:
Как же меняется |y> во времени? Продифференцируем его:
Но базисные состояния |i> во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|y>—это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) прекращается в
Но ведь d<i|y>/dt нам известно—это (9.16); получается, следовательно,
А это опять-таки уравнение (9.18).
Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов Hij просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» Hij и можно считать его
«оператором» H^. Все это одно и то же.
Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как Вх и т. д.), то естественно рассматривать и sxij как амплитуду < i|sх|j>, или, для краткости, как оператор s^л. Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |y> в магнитном поле можно написать в виде
Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать |y> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:
Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы о подействуют на каждое базисное состояние. Напишем s^z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим
(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что
<+|?>=1. (9.25)
Теперь умножим s^z|+> слева на <-|. Получится
т, е.
Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что
Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.
Таблица 9.3 • СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА s^
Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под s^xs^y|+> надо понимать s^х(s^y|+>). Из табл. 9.3 получаем s^y|+>=i|-> так что
Числа (как, например, i) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний); значит (9.28) перейдет в
Если сделать то же самое с s^xs^y|->, то получится
Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что s^хs^у, действуя на |+> или |->, даст в точности то же, что получается, если просто подействовать оператором s^z и умножить на — i. Поэтому можно сказать, что операция s^х s^y совпадает с операцией is^z, и записать это утверждение в виде операторного уравнения
Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших матричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнений в. табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как
уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить,
что они действительно следуют из табл. 9.3. Работая с этими
вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа 0
или Н операторами или матрицами. Чем их ни считай, уравнения
: выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.
Такую интерференцию действительно наблюдали. Коэффициент a оказался равным — 0,96b. Отсюда можно было вычислить и разность масс К1- и K2-мезонов. Она оказалась равной около —0,35•10-5 эв. Это наименьшая разность масс двух частиц, известных физикам.— Прим. ред.
Мы здесь упрощаем. Система 2p может иметь множество состояний, отвечающих различным импульсам p-мезонов, и в правой части >того равенства следовало бы поставить сумму по всем базисным состояниям p-мезонов. Но полный вывод все равно приводит к тем же результатам.
Типичное время для сильного взаимодействия ближе к 10-23 сек.
Если, конечно, он не создает еще двух К+ или других частиц с общей странностью +2. Можно считать, что здесь речь идет о реакциях, в которых не хватает энергии для возникновения этих добавочных странных частиц.
Свободная L-частица медленно распадается путем слабого взаимодействия (так что странность не обязана при этом сохраняться). Продуктами распада могут быть либо р и p-, либо n и p0. Время жизни 2,2•10-10сек.
Читайте: «.K-нуль с чертой».
Среди новых частиц есть барион W- со странностью -3.—Прим. ред.
Это похоже на то, что мы обнаружили (в гл. 4) для частиц со спином 1/2. когда поворачивали систему координат вокруг оси z; тогда мы получили фазовые множители exp (±ij/2). В действительности это в точности то же самое, что мы писали в гл. 3, § 7, для состояний |+> и |-> частицы со спином 1, и это не случайно. Фотон— это частица со спином 1, у которой, однако, нет «нуль»-состояния.
** Мы сознаем, что материал этого параграфа длиннее и труднее, чем это положено на нашем уровне знаний. Лучше пропустите его и переходите прямо к § 6. Но если у вас есть самолюбие и время, попозже вернитесь к нему опять. Это великолепнейший пример (взятый к тому же из последних работ по физике высоких энергий) того, что можно сотворить с помощью нашей формулировки квантовой механики двухуровневых систем. (Для русского издания параграф переделан проф. Сэндсом. — Прим. ред.)
* Параграф 5 при первом чтении книги можно пропустить. Он сложнее, чем положено в таких курах.
– Конец работы –
Используемые теги: Спиновые, матрицы, Операторы0.062
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Спиновые матрицы как операторы
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов