Методы оценки параметров генеральной совокупности

Метод наибольшего (максимального) правдоподобия (МНП)(ММП) обладает следующими достоинствами:

1. Всегда приводит к состоятельным оценкам (иногда смещенным)

2. Получаемые оценки распределены асимптотически нормально и имеют минимально возможную дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками.

Недостаток: требуется решать громоздкие системы уравнений.

Имеется СВ Х, f(x,q) – функция ее плотности вероятности, выражение которой известно.

q – неизвестный параметр, подлежащий оценке.

x₁, x₂,…,x_n – n независимых наблюдений над СВ x.

В основе МНП лежит функция L(q) – функция правдоподобия, формирующаяся с учетом свойств многомерной функции распределения наблюдений над СВ х.

f(x₁, x₂,…,x_n,q)=f(x₁, q)×f(x₂,q)×…×f(x_n,q)

В указанное равенство подставляются данные и получаем функцию L(q):

L(q)=f(x₁, q)×f(x₂,q)×…×f(x_n,q)

За максимальное правдоподобное значение параметра q принимаем , при которой L(q) максимально.

L'(q)=0 => q_max=

 

Метод моментов(Метод Пирсона).

 

Метод обладает следующими достоинствами:

1. Оценки получаемые этим методом всегда являются состоятельными.

2. Метод моментов мало зависит от закона распределения случайной величины.

3. Сложность вычисления незначительна.

Известна случайная величина Х, которая характеризуется f(x, θ₁, θ₂…θ_q), аналитический вид этой функции известен.

По выборке объёмом n х₁,х₂,х₃,…х_n – значения случайной величины в выборке вычисляем эмпирические начальные моменты случайной величины:

 

Находим теоретические моменты:

 

Основная идея метода моментов заключается в приравнивании значения эмпирических значений моментов теоретическим.

 

Решим систему q-уравнений с q-неизвестными:

состоятельные оценки.

Состоятельность этих оценок основана на том, что эмпирические моменты при достаточно большом n (n→∞) стремится к теоретическим. Выполняется закон больших чисел.