Предельные теоремы теории вероятностей

Делятся на две группы: Закон Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральная Предельная Теорема (ЦПТ).

Закон Больших Чисел устанавливает связь между абстрактными моделями теории вероятностей и основными ее понятиями и средними значениями, полученными при статистической обработке выборки ограниченного объема из генеральной совокупности. P, F(x), M(x), D(x).

ЗБЧ доказывает, что средние выборочные значения при n®¥ стремятся к соответствующим значениям генеральной совокупности: h_n(A)®P, X_ср®M(X), s_ср²®D(X), F^*(X)®F(X).

Лемма Маркова. Если Y – СВ, принимающая не отрицательные значения, то для любого положительного e:

P(Y³e)£M(x)/e, P(Y<e)³1-M(x)/e.

Доказательство. Рассмотрим Y и : Y_e£Y, M(Y_e)£M(Y)

M(Y_e)=0×P(Y<e)+e×P(Y³e)=e×P(Y³e)

M(Y)³M(Y_e)=e×P(Y³e).

Лемма позволяет сделать оценку вероятности наступления события по математическому ожиданию этой СВ.

Неравенство Чебышева. Для любой СВ с ограниченными первыми двумя моментами (есть МО и D) и для любого e>0:

Доказательство. По лемме Маркова: рассмотрим не отрицательную СВ Y

Y=(X-m)² M(Y)=M(X-m)²=D(x)

P(|X-m|³e)=P((X-m)²³e²)=P(Y³e²)£M(Y)/e²=D(x)/e².

Требуется только знание дисперсии СВ при любом законе распределения.

 

ЗБЧ в форме Чебышева. X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых СВ. Для любого e>0 и n®¥:

ЗБЧ в форме Бернулли. m – число успехов в серии из n последовательных испытаний Бернулли. P – вероятность успеха в каждом отдельном испытании. e>0:

ЗБЧ носит чисто качественный характер. В тех же условиях неравенство Чебышева позволяет получить количественную характеристику оценки вероятности.

Пример. Для определения вероятности события проведено 40000 опытов. События наблюдалось в m=16042 случаях. За вероятность события принимается относительная частота наступления события: m/n»0,4. Применяя неравенство Чебышева, оценить, с какой вероятностью можно гарантировать, что число 0,4, принятое за вероятность, отличается от истинной вероятности не больше, чем на 0,05.

Неизвестные p и q находим из системы уравнений:

=>

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Предмет внимания этой теоремы – распределение суммы большого числа СВ.

X=(x₁+x₂+…+x_n)/n

Распределение суммы n независимых СВ в независимости от их законов распределения асимптотически сходятся к нормальному закону при неограниченном числе слагаемых и ограниченных двух первых моментах (МО и D).

Если s_i²=s², то s_х²=s²/n, .

D(x)=s_х²=(s₁²+s₂²+…s_n²)/n²

ЦПТ универсальны и справедливы как для НСВ, так и для ДСВ.

P(a<X<b)=Ф(t₂)-Ф(t₁).

t₂=(b-m_x)/s_x t₂=(a-m_x)/s_x

S_n=(X₁+X₂+…+X_n)/n

P(|S_n-m|<zs)=2Ф(z)

M(xk)=m D(xk)=s²

ЦПТ в интегральной форме Муавра-Лапласа.